Zeigen Sie, dass die Abbildung Z →ℤ, die durch: n →{ [(0,n)] für n >= 0, [(-n,0)] n < 0 definiert wird bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf N0 x N0, die durch (a,b)∼(c,d) ⇔ a+d=b+c definiert ist.

Sei Z die Menge der Äquivalenzklassen von ∼. Zeigen Sie, dass die Abbildung  Z →\mathbb{Z}
die durch: n →{ [(0,n)] für n >= 0, [(-n,0)] n < 0 definiert wird bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich würde mich sehr über einen guten Lösungsansatz freuen. Mein erster Gedanke war es, dass ganze über die disjunktheit der Äquivalenzklassen zu beweisen, allerdings weiß ich nicht, ob das ganze vernünftig ist.

Answer 1

Ich denke, dass die Aufgabenstellung einen Fehler enthält: Es handelt sich um eine Abbildung \(T:\Z \to Z\). Wie zeigen: Jede Äquivalenzklasse \([(a,b)]\) hat genau ein Urbild unter T. Fallunterscheidung:

1.\(b \geq a\): Dann gilt:

$$[(a,b)]=[(0,n)] \iff a+n=b+0, \text{  also }T(b-a)=[(0,b-a)]=[(a,b)]$$

In diesem Fall ist \([(a,b)]=[(m,0)] \iff a+0=b+m\) mit \(m>0 \) unmöglich.

2. \(b<a\): Dann gilt:

$$[(a,b)]=[(m,0)] \iff a+0=b+m, \text{  also }T(b-a)=[(a-b,0)]=[(a,b)]$$ 

Und \([(a,b)]=[(0,n)] \iff a+n=b+0\) ist unmöglich.