Mit widerspruchsbeweis zeigen das h und k Parallel sind

Question

(a) Für \( g, h, k \in \mathbb{G} \) mit \( g \perp h \) und \( h \perp k \) gilt: \( \quad g \| k \) Zwei Senkrechten zu derselben Geraden sind parallel zueinander.
Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis. Nutzen Sie die Eindeutigkeit der Lotgeraden.

Eindeutigkeit der Lotgeraden :

Für alle \( g \in \mathbb{G} \) und alle \( P \in \mathbb{P} \) existiert genau eine Gerade \( h \in \mathbb{G} \) mit \( h \perp g \) und \( P \in h \). Im Fall \( P \notin g \) gilt dabei \( h=P S_{g}(P) \).

Von einem Punkt außerhalb von \( g \) kann man das Lot von \( P \) auf \( g \) fällen. Von einem Punkt auf \( g \) kann man das Lot in \( P \) auf \( g \) errichten.

Man nennt die Gerade \( h \) die Lotgerade von bzw. in \( P \) zu bzw. auf \( g \).

Im Hinweis steht das ich mit einem Widerspruchsbeweis beweisen soll, bedeutet das das ich zeigen möchte das h und k nicht parallel sind also g ∩ k ≠ ∅ oder verpeile ich gerade irgendetwas ?

Answer 1

Vielleicht so:

Seien  \( g, h, k \in \mathbb{G} \) mit \( g \perp h \) und \( h \perp k \)

1. Fall g=k ==>  Es gilt: \( \quad g \| k \)

2. Fall g≠k. Angenommen es gelte nicht \( \quad g \| k \)

==>   \( \exists  P \in \mathbb{P}  \)    mit \(  \{P\} = g∩k  \).

==>  P∈g und  P∈k . Wegen \( g \perp h \) und \( h \perp k \)

ist g die Lotgerade von P auf h und es ist k die Lotgerade von P auf h.

Wegen der Eindeutigkeit also  g=k. Widerspruch !

Comments

Vielen Dank ! du rettest mir gerade die Übung Morgen.