Abbildung auf injektivität, surjektivität und bijektivität überprüfen

Question

Hey wieder mal eine schnelle Verständnisfrage:

ε: ℕ* -> ℕ* (wobei mit ℕ* alle positiven natürlichen Zahlen gemeint sind)

ε weist jeder positiven natürlichen Zahl die Anzahl ihrer positiven natürlichen Teiler zu.

Es gilt zu zeigen ob die Abbildung surj. , inj, oder gar bijektiv ist.

Letzere zwei sind einfach zu zeigen:

Injektiv? Nein, weil alle positiv natürlichen Primzahlen p für ε(p) = 2 als Ergebnis hätten.

bijektiv? nein da die Abbildung nicht mal injektiv ist.

Bei surjektiv tu ich mich ein wenig schwerer - Ich hätte folgendermaßen begründet:

Ja die Abbildung ist surjektiv, da aus der Definition der Primfaktorzerlegung folgt das jede positive natürliche Zahl n genau 2^(n-1) Teiler besitzt.

Wurde hier für die surjektivität richtig argumentiert?

mfg & danke im voraus!!

Answer 1

das jede positive natürliche Zahl n genau 2^(n-1) Teiler besitzt.

Das ist nicht richtig. Zum Beispiel hat 4 nicht genau 2^3-1 = 4 positive Teiler, sondern nur 3 positive Teiler (nähmlich 1, 2 und 4).

Außerdem würde das auch nur dann auf Surjektivität schließen lassen, wenn jede natürlich Zahl in der Form 2^n-1 mit geeignetem natürlichen n dargestellt werden könnte.

Stattdessen: Ist ∏_i=1..k p_i^e_i die Priimfaktorzerlegung von n, dann ist

        ε(n) = ∏_i=1..k (e_i+1).

ε ist surjektiv, wenn jede Zahl aus ℕ* als solch ein Produkt dargestellt werden kann.

Answer 2

Hallo

"das jede positive natürliche Zahl n genau 2^(n-1) Teiler besitzt" ist ziemlich falsch, (auch abgesehen von das statt dass)

oben schriebst du richtig, p hat 2 Teiler.

nur ε(1)=1

 jedes n erreichst du etwa mit jeder Primzahl p^(n-1) und damit ist es surjektiv

Der Rest deiner Argumente ist ok

 Gruß lul