Verständnis zur Überprüfung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer Abbildung

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine ganz allgemeine Frage zur Überprüfung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer Funktion.

Die "normalen" Aufgaben sind ziemlich leicht zu schaffen, nur verstehe ich das nicht so ganz wenn z.B. R² -> R abgebildet wird oder R -> R². Halt alles was nicht R--> R ist.

Vielleicht kann mir das jemand hier näher bringen, weil ich bekomme überhaupt keinen Ansatz hin. Ich stelle einfach mal 2 Beispiele rein:

f1 : R → R², x |-> (x,x²)

f2: R² → R, (x,y) |-> x²-y²+1

Answer 1

\(f_1\) kann nicht injektiv sein, weil \((a,b)\) und \((a,-b)\) des Quadrats wegen auf dasselbe Element abgebildet werden. Surjektiv würde bedeuten, dass jedes Element in \(\mathbb{R}^2\) mind. ein Urbild hat. Wie sieht das mit \((0,-1)\) aus?

\(f_2\) ist auch nicht injektiv \((-a,b)\) und \((a,b)\) werden auf dasselbe abgebildet. Da \(x^2-y^2+1=a\) für alle \(a\in \mathbb{R}\) lösbar ist, ist die Funktion surjektiv.