Auf Injektivität, Bijektivität und Surjektivität überprüfen

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1)

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

c) h : ℝ²→ℝ² h\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}f (x + y) + g(x, y)\\x + y \end{pmatrix} \)

Aufgabe 2)

Es seien M, N zwei Mengen und f : M → N eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie für zwei beliebige Teilmengen A, B ⊂ M die folgenden Aussagen:

a) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B),

b) f (B \ A) = f (B) \ f (A),

c) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)

Aufgabe 3)

Es seien A, B zwei Mengen und f : A → B eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

a)

f ist injektiv, genau dann wenn

i) für alle b ∈ B die Faser f ⁻¹(b) aus höchstens einem Element besteht.

ii) für alle x, y ∈ A gilt: f(x) = f(y) ⇒ x = y.

b)

f ist surjektiv, genau dann wenn

i) für alle b ∈ B die Faser f ⁻¹(b) nicht leer ist.

ii) für alle b ∈ B existiert ein a ∈ A mit f (a) = b.

Problem/Ansatz:

Mich verwirrt bei 1c) die Vektorschreibweise, deswegen weiß ich nicht wie ich es beweisen könnte. Ich muss ja irgendwie zeigen dass x1=x2 ist.

Aufgabe 2 kann ich nicht ganz nachvollziehen, was damit gemeint ist, z.B mit f(A) und f(B). Es sind Teilmengen der Menge M, aber was wäre dann f(A)?

Aufgabe 3 ist eigentlich verständlich, nur ich weiß nicht wie ich das allgemein beweisen kann. Ich kann es anhand eines Beispiels zeigen, nur ich weiß nicht wie ich es allgemein machen soll.

Answer 1

1c)   Ich muss ja irgendwie zeigen dass x1=x2 ist.

Du musst zeigen, dass aus \( h\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = h\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\)  auch

\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\) folgt,

also x=a und y=b.

2) aber was wäre dann f(A)?

Das ist die Bildmenge von A unter der Abbildung f, also

f(A) = { f(x) | x∈A }

3)  für alle b ∈ B die Faser f −1(b) aus höchstens einem Element besteht.

         <=> für alle x, y ∈ A gilt: f(x) = f(y) ⇒ x = y.

zu "==>"  für alle b ∈ B besteht die Faser f ⁻¹(b) aus höchstens einem Element.

Seien nun x,y ∈ A mit  f(x) = f(y)

⇒      f^-1(f(x)) = f^-1(f(y))  In Worten: Die Fasern von f(x) und f(y) sind gleich.

Da beide nicht leer sind [denn es ist ja sicherlich x∈ f^-1(f(x)) dito bei y ]

und höchstens aus einem Element bestehen, bestehen sie beide

aus genau einem Element ( die eine ist {x} und die andere {y} )

und da die Mengen gleich sind, sind eben auch x und y gleich. q.e.d.

Die andere Richtung geht ähnlich.

Comments

f(x+y) ist ja 8x+8y-4. Wenn ich das gleichsetze, wie löse ich das auf? Das ist ja in der Vektorenschreibweise.

Edit: Ich habe raus, dass es nicht injektiv ist, denn in der zweiten Zeile steht (wenn man es auflöst) x2-y1=x2.

Wie beweise ich jetzt die Surjektivität? Soll ich das x oder das y = 0 setzen?

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Hab mich vertippt, natürlich sollte es x2+y2=x2+y2 sein. Das heißt, dass wäre nicht injektiv richtig?

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Ich war zu voreilig. Oben habe ich x1=x2, unten aber 0=0. Heißt es, dass es trotzdem injektiv ist, auch wenn da 0=0 ist?

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Es muss auch y1 = y2 folgen.

Und wenn es nicht injektiv ist, gibst du am

besten ein Gegenbeispiel, also zwei verschiedene

Vektoren aus R^2, die das gleiche Bild haben.

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Ich habe vergessen f(x) und g(x) einzufügen.

f : ℝ→ℝ, f(x) = 8x−4

g : ℝ2→ℝ, g\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)  = 2x−4y−2

Durch Probieren finde ich aber keine gleichen Vektoren aus R², die das gleiche Bild haben.

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Es ist ja auch injektiv. Mit der Kenntnis von f und g habe ich

\( h\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x-4\\x+y \end{pmatrix}\)

(Korrektur nach Tipp aus Kommentar)

Aus \( h\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = h\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\) folgt also

6x-4=6a-4       und x+y = a+b

==>  6x=6a    und y = a+b-x

==>     x=a

und mit   y = a+b-x auch  y=b ,

also ist h injektiv.

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Klammern beachten !

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Wäre h nicht \( h\begin{pmatrix} 6x-4\\x+y\\ \end{pmatrix} \)?

Damit folgt auch x=a.

Bei der y-Komponente habe ich dann aber auch das gleiche.

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Hab's gemerkt.

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Wie beweise ich jetzt aber die Surjektivität? Komme da nicht weiter.

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Denke die ein (a,b) ∈ R^2 und such (x,y) mit h(x,y)=(a,b) ,

also

6x-4 = a    und   x+y = b

==>  x = (a+4)/6   und y = b-x = b-( (a+4)/6 )

Da dies für jedes Paar (a,b) ausgerechnet werden

kann, ist die Funktion surjektiv.