Ist $$ g=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \in \ker L_1$$ dann gilt
$$ L_1(g) =\left( \begin{array}{cc}{-2 e} & {b-e} \\ {2 b-3 e} & {c-3 d}\end{array}\right) = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$$ $$-2e=0\implies e=0\\b-e=0 \implies b=0\\c-3d=0 \implies c=3d$$
Somit hat das Polynom g die Form
$$ g=ax^4 + 3dx^2 + dx$$
also
$$ \ker L_1 \subseteq \{ ax^4 +3dx^2 + dx ~|~ a,d\in\mathbb{R}\}$$
Andere Inklusion auch noch zeigen, dann weißt du, dass der Kern Dimension 2 hat. Das reicht um zu zeigen, dass \( L_1\) weder injektiv noch surjektiv ist.
Alternativ könntest du natürlich auch mit der Darstellungsmatrix arbeiten.