f1 : Z → Z : x 7→ 2x
interpretiere ich mal so:
$$f1: ℤ \longrightarrow ℤ: x \longmapsto 2x$$
Das bedeutet: f1 ist die Funktion von der
Menge der ganzen Zahlen in die Menge der ganzen Zahlen,
die jedem x den Wert 2x zuordnet.
injektiv bedeutet:
zwei verschiedenen x-Werten werden auch verschiedene Werte zugeordnet
oder (Das ist logisch gleichwertig) wenn die zugeordneten Werte gleich sind,
dann sind die x-Werte auch gleich.
Hier hieße das: Du stellst dir zwei x-Werte vor , sagen wir a und b , und
nimmst an, die zugeordneten Werte sind gleich, hier also
2a = 2b Das kannst du durch 2 teilen und hast
a=b, also : Die x-Werte sind auch gleich.
Damit weißt du: f1 ist Injektiv
surjektiv bedeutet: Jedes Element der 2. Menge ( hier also ℤ ) kommt
als zugeordneter Wert vor.
Wenn du ein wenig probierst, merkst du, dass immer nur gerade Zahlen
als zugeordnete Werte herauskommen. Also kommt z.B. 3
nicht als Funktionswert vor, d.h.
f1 ist nicht surjektiv.
Entsprechend machst du es bei den anderen:
Kurzform etwa für f2:
Injektiv ja, da aus -a = -b auch a=b folgt.
surjektiv auch, denn jedes y ∈ℤ kommt als Funktionswert
vor, man nimmt einfach x= -y , dann ist der
Funktionswert von x ja -(-y) = y.
Also ist f2 bijektiv und die inverse Abbildung ist f2 selbst.
etc...….……….
