Umkehrfunktion gesucht von ln((x+1)^2)

Question

Hi, habe ewig keine Umkehrfunktion mehr gebildet. Suche die Umkehrfunktion von f(x)=ln((x+1)²) x aus R+

Dachte es wäre einfach f^-1   =e^{(x+1)^2} 

Das scheint aber falsch zu sein, könnte mir wer da helfen?

Answer 1

wie bist du darauf gekommen? Funktion und Umkehrfunktion miteinander verknüpft ergibt kurzgesagt: $$ f(f^{-1}(x))=x=f^{-1}(f(x)). $$

Comments

Ich dachte weil die umkehrfunktiopn von der e,Funktion lg ist, wäre es umgekehrt genauso

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Ja, das stimmt schon, aber hier so vorzugehen wird schiefgehen. Außerdem musst du vorher festgelegt haben, was dein Definitions - und Wertebereich ist. Hast du ihn dann festgelegt, musst du zeigen, dass die Funktion bijektiv ist. Ist sie das nämlich nicht, kann man sich den Wunsch nach einer Umkehrfunktion schenken, es sei man passt die Bereiche so an, sodass Bijektivität vorliegen kann.

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Glaub es müsste e^x:2 -1 sein

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Ja, das stimmt. Das sieht man auch daran, dass folgendes gilt:

Man betrachte $$ f: \ \mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0},\quad  x\mapsto \ln\big((x+1)^2\big)=:f(x) $$

$$ f(x)=\ln((x+1)^2)\qquad f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{2}}-1 $$

Dann ist:

$$ f(f^{-1}(x))=\ln\Big(\big((e^{\frac{x}{2}}-1\big)+1)^2\Big)=\ln\big(e^x\big)=x\\f^{-1}(f(x))=e^{\frac{\ln((x+1)^2)}{2}}-1=e^{\frac{1}{2}\cdot \ln((x+1)^2)}-1=e^{\ln(x+1)}-1=x $$

Answer 2

1.) Löse nach x auf

2.) Vertausche x durch y