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Aufgabe:f(x)=ln (x+1) + ln x was ist die umkehrfunktion?

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:f(x)=ln (x+1) + ln x
y = ln (x+1) + ln x
Unkehrfunktion
x = ln (y+1) + ln y
x = ln ( (y+1) * y ) | e hoch
e ^x = ( y + 1 ) * y
y^2 + y = e ^x | quadratische Ergänzung
y^2 + y + (1/2) ^2 = e ^x + (1/2)^2
( y + 1/2 ) ^2 = e ^x + 1/4  | Wurzel ziehen
y + 1/2 = ± √ ( e ^x + 1/4 )
y =  ± √ ( e ^x + 1/4 ) - 1/2

f ^(-1) ( x ) =  ± √ ( e ^x + 1/4 ) - 1/2

Avatar von 123 k 🚀

vielen dank jetzt verstehe ich alles :)

Gern geschehen.

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y = LN(x + 1) + LN(x)
y = LN(x^2 + x)
e^y = x^2 + x
x^2 + x - e^y = 0
x = - 0.5 + 0.5·√(4·e^y + 1)

Da x > 0 sein muss würde nur der Angegebene Zweig infrage kommen.

Avatar von 487 k 🚀

Vielen Dank!

Könntest du vlt. noch ein paar zwischen Schritte vor der “letzen” Gleichung erklären? Ich verstehe nicht wie ich es hinbekomme nur 1 x zu haben, bzw. Ich verstehe nicht wie du von x2 + x - ey = 0 auf x = - 0.5 + 0.5·√(4·ey + 1) kommst.

Ich gebe mal ein paar Stichwörter

- quadratische Gleichung

- pq-Formel oder

- quadratische Ergänzung

Eigentlich solltest du solche Grundlage können oder in der Lage sein darüber bei youtube ein Video zu schauen.

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