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Aufgabe:

Hallo könnte mir jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe geben

gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion folgender Funktion:


f(x)= ln(-x²+2x+4) an der Stelle x=log(4)


Problem/Ansatz:


Ich hab als Ergebnis -√(e^x-2

Das kann allerdings nicht Stimmen..


Über Hilfe würde ich mich freuen !!!

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Welcher Logarithmus ist gemeint bei

Stelle x=log(4)

?

-√(e^{x}-2

So gemeint: -√(e^{x}-2) ?

2 Antworten

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Ableitung der Umkehrfunktion

Die Funktion f ist ja nicht so ohne weiteres umkehrbar, da nicht Injektiv.

Also muss sie erst mal so eingeschränkte werden, dass  es

Injektiv ist und überhaupt definiert ist; denn ln gibt es ja nur von

positiven Werten. Eine Möglichkeit wäre:

Definitionsbereich von 1 bis 1+√5.

genauer [ 1 ;  1+√5 [ und der Wertebereich

geht dann von   - ∞ bis ln(5) genauer  ]   - ∞  ; ln(5) ]

 Dann hat die Umkehrfunktion das als Definitionsbereich ,

ln(4) liegt also darin .

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt ja f-1 ' (y) = 1 / f ' (x).

Hier ist y= ln(4) also muss gelten ln(4) = f(x)

                                                            4 = -x²+2x+4

gibt im gewählten Definitionsbereich   x = 2 .

Also  f-1 ' (ln(4)) =  1 / f ' (2)

und wegen f ' (x) =  ( 2x-2) / (x^2 - 2x -4 )

ist f ' (2) =-1/2   also gilt   f-1 ' (ln(4)) =  - 2 .

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e^y = -x^2+2x+4

x^2-2x-4+e^y=0

x1/2= 1±√(1+4-e^y)

Vertauschen:

y= 1±√(5-e^y)

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Du hast in der letzten Zeile kein x mehr. Ausserdem hast du auch noch nicht abgeleitet.

Angenommen "Umkehrfunktion" ist

y= 1±√(5-e^{x})

Ergäbe

y= 1±√(5-e^{log(4)})

y = 1 ± √(5 - 4)  , falls log = ln

 y= 1±1 , d.h. zwei verschiedene y-Werte für ein x. Kannst du so auf EINE Ableitung kommen?

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