Umkehrfunktion ly=ln(1+x)-ln(x)

Question

Wie würde ich daran gehen, die Umkehrfunktion von "y = f(x) = ln(1+x) - ln(x)" zu berechnen?

Answer 1

Hallo KurodaAkira,

ln(1+x) - ln(x)  = ln( (1+x) / x ) = ln( 1 + 1/x)  ;    D = ℝ⁺      

f: ℝ⁺ → ℝ⁺  ;  x  ↦ ln( (1+x) / x )      [# vgl. unten]  

y = ln( (1+x) / x )   

nach x auflösen:

e^y = (1+x)/x  

x*e^y = 1+x

x*e^y - x = 1

x * ( e^y - 1 ) = 1    |  : ( e^y - 1 )  ; ≠ 0 wegen y∈ℝ⁺

x = 1 / ( e^y - 1 )

Variablennamen vertauschen

y = 1 / ( e^x - 1 )

f ^-1 :  ℝ⁺ → ℝ⁺ ,  x ↦ 1 / ( e^x - 1 )

Der Graph von f ^-1  ergibt sich aus dem von f  durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:

#  

f '(x) = [ ln(1+x) - ln(x) ] '  =  1/(x+1) - 1/x  < 0  für x∈ℝ⁺

       →  f ist streng monoton fallend  

   lim_x→0+  f(x) =  lim_x→0+ ln( 1 + 1/x)  = ∞   ;   lim_x→∞ f(x) = 0⁺       

Die Bildmenge von f ist also ℝ⁺

Gruß Wolfgang

Answer 2

f(x) = ln(1+x) - ln(x)
Def Bereich bestimmen
x > 0

Wertebereich
Ränder
lim x −> 0 (+) = ln ( 1 + 0 ) - ln ( 0 ) = + ∞
lim x −> + ∞ = ln ( 1 + ∞  ) - ln ( ∞ ) = 0
W = ] 0 ; + ∞ [

f(x) = y = ln(1+x) - ln(x)
y = ln( (1+x) / x )
Umkehrfunktion
x = ln( (1+y) / y )
e^x = (1+y) / y
e^x = 1/y + 1
1 / y = e^x- 1
y = 1 / ( e^x -1 )

D = ] 0 ; + ∞ [
W = y > 0