Umkehrfunktion bestimmen ln. f(x)=ln(x+3)-ln(x+1)

Question

wie kann ich die Umkehrfunktion von f(x)=ln(x+3)-ln(x+1) bestimmen?

.

Answer 1

y = LN(x + 3) - LN(x + 1)

y = LN((x + 3) / (x + 1))

e^y = (x + 3) / (x + 1)

e^y = 2/(x + 1) + 1

e^y - 1 = 2/(x + 1)

x + 1 = 2/(e^y - 1)

x = 2/(e^y - 1) - 1

Nun noch x und y tauschen. Darauf verzichte ich mal.

Comments

Zur Angabe einer Umkehrfunktion gehört wohl auch deren Definitionsmenge:

Aus der Definitionsmenge D_f = ] -1 ; ∞ [  ergibt sich - keineswegs selbstverständlich - die Bildmenge  f(D_f) = ℝ⁺  als  Definitionsmenge der Umkehrfunktion.

Wegen  y>0 ist deshalb auch die Division durch e^y - 1 > 0  unproblematisch.

f^-1: ℝ⁺ → ℝ ; x ↦ 2/(e^x - 1) - 1