Verständnisschwierigkeit: Volumenintegrale

Question

Folgende Aufgabe:

Die Menge \( D \subset \mathbb{R}^{3} \) wird gegeben als Schnittmenge von \( \left\{(x, y, z) | x^{2}+y^{2} \leq a^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\} \) und

\( \left\{(x, y, z) | x^{2}+z^{2} \leq a^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\} \)
Berechnen Sie das Volumen von \( D,(a>0) \).

Nun steht in den Lösungen:

Wir beschreiben \( D \) durch:
$$ 0 \leq x \leq a, \quad 0 \leq y \leq \sqrt{a^{2}-x^{2}}, \quad 0 \leq z \leq \sqrt{a^{2}-x^{2}} $$

 Meine Frage: Woher weiß man, dass \(0 \leq x \leq a \) ?

Answer 1

Aloha :)

In beiden Mengen ist \(x,y,z\ge0\). Wir betrachten also den ersten Oktanden des Koordinatensystems. Die beiden Mengen geben uns Bedingungen vor, die beide zugleich erfüllt werden müssen:$$x^2+y^2\le a^2\quad;\quad x^2+z^2\le a^2$$Die Summe \(x^2+y^2\) ist durch \(a^2\) nach oben beschränkt. Wenn \(y\) minimal ist, also \(y=0\), kann \(x\) den maximalen Wert \(a\) annehmen. Dasselbe gilt für die zweite Summe \(x^2+z^2\le a^2\). Auch hier ist der maximale Wert von \(x\) gleich \(a\), wenn \(z=0\) ist. In beiden Fällen können wir also \(x\in[0;a]\) frei wählen.

Haben wir uns für ein \(x\in[0;a]\) entschieden, ist wegen \(y^2\le a^2-x^2\) der Wert von \(y\) nach oben beschränkt, also \(y\le\sqrt{a^2-x^2}\). Ebenso ist bei fest gewähltem \(x\) der Wert von \(z\) durch \(z^2\le a^2-x^2\) nach oben beschränkt, also \(z\le\sqrt{a^2-x^2}\).

Beim Berechnen des Volumens musst du zuerst über \(y\) und \(z\) integrieren, weil in den Integrationsgrenzen die Variable \(x\) noch vorkommt:$$V=\int\limits_0^a dx\int\limits_0^{\sqrt{a^2-x^2}}dy\int\limits_0^{\sqrt{a^2-x^2}}dz=\int\limits_0^a dx\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{a^2-x^2}=\int\limits_0^a dx(a^2-x^2)$$$$\phantom{V}=\left[a^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^a=a^3-\frac{a^3}{3}=\frac{2}{3}a^3$$

Comments

Nochmals vielen Dank, was täte ich bloß ohne dich!!!!!! :) :D

Answer 2

Hallo Mona,

Meine Frage: Woher weiß man, dass \(0 \leq x \leq a \) ?

Unter anderem gilt doch für die Schnittmenge D

\( D ⊂ \left\{(x, y, z) |\text{ } \color{blue}{x^{2}+z^{2} \leq a^{2}}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\} \) 

Daraus ergibt sich doch für alle (x,y,z) ∈ D direkt  0 ≤ x ≤ a , wenn zusätzlich  x≥0 und a>0  vorgegeben ist.

Gruß Wolfgang

Comments

:) Das ergibt Sinn! :D