Gaußscher Integralsatz für Volumen einer d-dimensionalen Kugel

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe Probleme mit einer Aufgabe:

\( \frac{D}{Dr} Vol_d (B_r(0)) = vol_{d-1} \partial B_r(0)\)

Mit B d- dimensionale Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius r

Problem/Ansatz:

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, mein erster Ansatz ist hier der Gaußschen Integralsatz aber weiter weiß ich leider nicht.

Comments

Ich bin leider mit den seltsamen Symbolen nicht vertraut...

Was soll \(\frac{D}{Dr}\) sein? Habt ihr das einen Differential-Operator definiert? Wenn ja, wie lautet diese Definition?

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Hallo
Mach das erst mal für d=2 dann hasst du (π r^2)'=2π r
oder 3d: (4π r^3/3)'=4π r^2
Gruß lul

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d/dr ist die Ableitung nach r

Answer 1

Es gilt ja der Zusammenhang

$$ V_n(R) = \int_0^R O_n(r) dr $$ mit \( V_n(r) \) ist das Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit Radius \( r \) und

\( O_n(r) \) ist die Oberfläche von \( V_n(r) \)

Durch differenzieren folgt $$ \frac{d}{dR} V_n(R) = O_n(R) $$

Comments

aber wie beweise ich das mit dem Integralsatz? Ich hatte die Idee es zuerst für den Radius 1 zu berechnen aber komme dort leider auch nicht weiter.

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Der Gaußsche Integralsatz lautet

$$ \int_V \nabla \cdot \vec {F} dV = \int_{\partial V} \vec{F} \cdot \vec{\nu}  \ dA $$

Wenn Du jetzt \( \vec{F} = \vec{x} \) setzt, folgt $$ \nabla \cdot \vec{F} = n $$ und $$ \vec{F} \cdot \vec{\nu} = \vec{x} \cdot \frac{\vec{x}}{ \| \vec{x} \|} = \| \vec{x} \| = R $$ also

$$ n \cdot V_n = R \cdot O_n $$

Wegen $$ V_n = R^n \cdot B_1(0) $$ folgt $$ O_n = n \cdot R^{n-1} \cdot B_1(0) = \frac{d}{dr} V_n $$