Volumen einer n-dimensionalen Kugel

Question

Aufgabe:

Zeigen, dass für das Volumen \( V_{n} \) der \( n \)-dimensionalen Kugel \( \left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}: \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}<r^{2}\right\} \) mit \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und Radius \( r>0 \) gilt:
\(V_{n}=\beta_{n} \cdot r^{n} \text { mit } \quad \beta_{1}=2, \beta_{2}=\pi \text { und } \beta_{n}=\frac{2 \pi}{n} \cdot \beta_{n-2} \text { für } n>2 \text {. }\)

Problem/Ansatz:

Mir fehlt leider jeglicher Ansatz. Ich freue mich über jegliche Hilfestellungen.

Comments

hallo. im netz gibts dazu so viele Anleitungen, dass man hier nicht noch eine schreiben muss, google Volumen einer n dimensionalen Kugel.

Gruß lul

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Frage am Rande:

Wie soll man sich eine 10-dimensionale Kugel vorstellen?

Die Welt der String-Theorie?

Worum geht es hier? Wo kommen Kugeln mit höheren Dimensionen als 3 vor?

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Wie soll man sich eine 10-dimensionale Kugel vorstellen?

Alter Witz : Stelle dir einfach eine n-dimensionale Kugel vor und setze dann n=10.

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Wie soll man sich eine 10-dimensionale Kugel vorstellen?

Eine Frage, welche die Vorstellungen eines ggT22 über das Wesen der Mathematik offenlegt. Siehe:

https://www.mathelounge.de/734012/was-ist-das-wesen-der-mathematik

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Eine Frage, welche die Vorstellungen eines ggT22 über das Wesen der Mathematik offenlegt

Ja, absolut Realitätsfernes ist nicht mein Ding.

Mit dem Bedürfnis nach Vorstellbarkeit und Sinnhaftigkeit stehe ich sicher nicht allein da.

Alter Witz : Stelle dir einfach eine n-dimensionale Kugel vor und setze dann n=10.

Guter Witz.

Aber Sie könnten sicher mehr dazu sagen um mir die Problematik ein wenig wenigstens zu

visualisieren. Immerhin habe ich auf die Stringtheorie verwiesen?

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die Problematik ein wenig wenigstens zu visualisieren

Das ist zugegebenermaßen äußerst schwierig, wenn man mit "visualisieren" ein gezeichnetes Bild meint. Dies

 

ist in diesem Sinne die Visualisierung einer 3-dim Kugel in einer 2-dim Ebene, also in einer Dimension tiefer. Das Bild einer 4-dim Kugel in einer 2-dim Ebene wäre in zwei Dimensionen tiefer, also etwa das Problem, eine 3-dim Kugel auf einer 1-dim Linie darzustellen.

Eben weil eine solche Visualisierung oder ein Bild vor dem geistigen Auge so schwer bis unmöglich ist, gibt es neben der bildenden Kunst auch noch die Mathematik ! Es wird ja behauptet, dass ein Bild mehr als tausend Worte sagen könne, aber mindestens ebenso wahr ist es, dass eine Formel ( \( \left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}: \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}<r^{2}\right\} \) mit \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und Radius \( r>0 \) ) mehr als tausend Bilder sagt.

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@ggT22

Punkte/Kugeln in n-dimensionalen Räumen spielen in Bereichen wie Machine Learning/Data Science auch eine Rolle.

Ein ganz einfaches Beispiel: man bekommt eine Tabelle mit Autodaten, diese enthält dann für verschiedene Modelle jeweils die n Spalten "Maximalgeschwindigkeit, Tankgröße, PS, Beschleunigungsdauer von 0-100km/h, ...". Also kann man sich jede Zeile (jedes Automodell) als n-dimensionalen Punkt vorstellen. Wenn wir nun zu einem gegebenen Automodell "ähnliche" andere Modelle finden möchten, könnten wir um diesen Punkt eine n-dimensionale Kugel mit gewissem Radius bilden (je nachdem wie "ähnlich" es sein soll) und überprüfen, welche anderen Punkte innerhalb dieser Kugel liegen.