Berechnen Sie mit Hilfe von Mehrfachintegralen das Volumen einer halben Kugel.

Question

Meine Idee

$$ \int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^R~r^2\sin\theta~dr~d\theta~d\phi~= \frac{R^3}{3}\cdot\pi $$ Wie würdet ihr bergünden, dass ich die Funktion 1 gewählt habe. Ist das Ergebnis richtig?

Ich habe es bei der Berechnung eines Kreises mit Polarkoordinaten abgeguckt und auf Verdacht auch hier benutzt, kann es aber nicht begründen :(

Comments

Halbkugel sollte das Volumen 2πR^3/3 haben.

1 hast du gewählt, weil die Kugel "homogen" gefüllt ist, z.B. mit Wasser oder Luft.

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Müsste phi nicht von 0 bis 2π gehen? https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#.C3.9Cbliche_Konvention

Answer 1

Berechnen Sie mit Hilfe von Mehrfachintegralen das Volumen einer halben Kugel.

Answer 2

  Der Vorteil von Polarkoordinaten besteht ja darin, dass das Problem separiert. Das Volumenelement



     d  V  =  [  r  cos  (  ß  )  dµ  ]  r  dß  dr  =  r  ²  cos  (  ß  )  dr  dß  dµ     (  1  )



     Physikern sagt man ja, ( 1 ) sei anschaulich klar. Bedarfst du eines matematischen Beweises? 





    V  (  HK  )  =  J  (  r  )  J  (  ß  )  J  (  µ  )       (  2  )




                      R
    J  (  r  )  =  $     r  ²  dr  =  1/3  R  ³       (  3a  ) 
                      0




                         Pi / 2
     J  (  ß  )  =      $           cos  (  ß  )  dß  =  1      (  3b  )
                            0



                          2 Pi
     J  (  µ  )  =     $          dµ  =  2  Pi      (  3c  )
                          0