Aloha :)
Die Gleichung für das Innere einer Kugel (inlusive Rand) mit Radius \(R\) und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems lautet:$$x^2+y^2+z^2\le R^2$$Wegen der Symmetrie können wir uns bei der Berechnung des Volumens auf den ersten Oktanden des 3-dimensionalen Koordinatensystems beschränken, betrachten also nur$$x\ge0\quad;\quad y\ge0\quad;\quad z\ge0$$Dafür müssen wir im Gegenzug das Ergebnis unserer Berechnung mit \(8\) multiplizieren, um auch das Kugel-Volumen in den übrigen \(7\) Oktanden zu berücksichtigen.
Das Problem ist zunächst, die Integrationsgrenzen zu finden. Dazu gehen wir von der Gleichung oben aus$$x^2+y^2+z^2\le R^2$$und stellen fest, dass wir \(x\in[0|R]\) frei wählen dürfen, ohne die Gleichung zu verletzen. Haben wir uns für ein \(x\) entschieden, schränkt das die Wahl von \(y^2\) und \(z^2\) etwas ein, denn dann ist in$$y^2+z^2\le R^2-x^2$$die rechte Seite fest. Wir können aber \(y\in[0;\sqrt{R^2-x^2}]\) noch frei wählen, ohne die Gleichung zu verletzen. Jetzt sind \(x\) und \(y\) fest gewählt und die Wahlmöglichkeiten für \(z\) entsprechend stärker eingeschränkt:$$z^2\le R^2-x^2-y^2$$Aber immerhin können wir noch \(z\in[0;\sqrt{R^2-x^2-y^2}]\) frei wählen. Damit können wir das Integral zur Berechnung des Kugelvolumens formulieren:$$V=8\cdot\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dz$$In der Aufgabenstellung wird leider nicht deutlich, dass man tatsächlich über 3 Dimensionen integriert, weil dort das Integral über \(dz\) bereits ausgerechnet ist:$$V=8\cdot\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\,\left[z\right]_0^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}=8\cdot\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\sqrt{R^2-x^2-y^2}$$Das Integral über \(dy\) betrachten wir nun gesondert:
$$I_y:=\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy=\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{R^2-x^2}}dy$$Wir substituieren wie folgt:$$y=\sqrt{R^2-x^2}\sin\varphi\quad;\quad\frac{dy}{d\varphi}=\sqrt{R^2-x^2}\cos\varphi$$$$\varphi=\arcsin\left(\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\quad;\quad\varphi(0)=0\quad;\quad\varphi(\sqrt{R^2-x^2})=\frac{\pi}{2}$$$$I_y=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1-\frac{(R^2-x^2)\sin^2\varphi}{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2}\cos\varphi\,d\varphi$$$$\phantom{I_y}=\int\limits_0^{\pi/2}(R^2-x^2)\sqrt{1-\sin^2\varphi}\cos\varphi\,d\varphi=(R^2-x^2)\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphi$$$$\phantom{I_y}=(R^2-x^2)\cdot\frac{\pi}{4}$$Damit gehen wir zurück ins Volumenintegral:$$V=8\int\limits_0^Rdx(R^2-x^2)\cdot\frac{\pi}{4}=2\pi\left[R^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^R=2\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\,\pi\,R^3$$
