Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Eine Zeichnung der Bodenfläche sieht etwa so aus:
~plot~ -x*(x>=-1)*(x<=2) ; (2-x^2)*(x>=-1)*(x<=2) ; [[-1|2|-2|2]] ~plot~
Man erkennt, dass \(x\in[-1;2]\) und \(y\in[-x;2-x^2]\).
Das Intervall für die Höhe ist uns explizit gegeben: \(z\in[0;y-x^2+6]\).
Das gesuchte Volumen können wir daher wie folgt formulieren:$$V=\int\limits_{x=-1}^2\;\int\limits_{y=-x}^{2-x^2}\int\limits_{z=0}^{y-x^2+6}dx\,dy\,dz=\int\limits_{x=-1}^2\;\int\limits_{y=-x}^{2-x^2}\left[z\right]_{z=0}^{y-x^2+6}dx\,dy$$$$\phantom V=\int\limits_{x=-1}^2\;\int\limits_{y=-x}^{2-x^2}(y-x^2+6)\,dx\,dy=\int\limits_{x=-1}^2\left[\frac{y^2}{2}-x^2y+6y\right]_{y=-x}^{2-x^2}\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=-1}^2\left[\left(\frac{(2-x^2)^2}{2}-x^2(2-x^2)+6(2-x^2)\right)-\left(\frac{x^2}{2}+x^3-6x\right)\right]\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=-1}^2\left(\frac32x^4-x^3-\frac{21}{2}x^2+6x+14\right)\,dx=\left[\frac{3}{10}x^5-\frac{x^4}{4}-\frac{7}{2}x^3+3x^2+14x\right]_{-1}^2$$$$\phantom V=\frac{88}{5}-\left(-\frac{161}{20}\right)=\frac{352}{20}+\frac{161}{20}=\frac{513}{20}$$
