Aloha :)
Zur Bestimmung des Volumens, dass die Fukntion \(z=f(x;y)=\sqrt{x^2+y^2}\) über der Bodenfläche \(\Omega\) einschließt, können wir folgendes Integral bestimmen:$$V=\int\limits_{\Omega}f(x;y)\,dx\,dy=\int\limits_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy$$
Zum Abtasten aller Punkte der Menge \(\Omega\) bieten sich Polarkoordinaten an:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi2;\pi\right]$$Das Intervall für den Radius \(r\in[0;2]\) haben wir der Abbildung entnommen. Bei der Wahl des Intervalls für den Polarwinkel \(\varphi\in\left[\frac\pi2;\pi\right]\) haben wir berücksichtigt, dass sich der Viertelkreis \(\Omega\) im zweiten Quadranten des Koordinatensystems befindet.
Beim Übergang von kartesischen zu Polarkoordinaten ändern sich das Flächenelement:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$und der Integrand$$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=\sqrt{r^2}\stackrel{(r\ge0)}{=}r$$sodass wir das obige Integral für das Volumen wie folgt schreiben können:$$V=\int\limits_{r=0}^2\;\,\int\limits_{\varphi=\pi/2}^\pi r\cdot r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2r^2\,dr\int\limits_{\varphi=\pi/2}^{\pi}d\varphi=\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=0}^2\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=\pi/2}^\pi=\frac83\cdot\frac\pi2=\frac43\pi$$
