Volumen zwischen 2 Funktionen: z=e^{-x^2-y^2} und z= e^{-1}

Question

Wie berechne ich das eingeschlossene Volumen zwischen diesen 2 Funktionen

z=e^{-x^2-y^2}

z= e^-1

Comments

Zuerst mal brauchst du die gemeinsamen Punkte der beiden Flächen.

e^{-x^2-y^2}  = e^{-1}       | Exponentenvergleich

-x^2 - y^2 = - 1

1 = x^2 + y^2

Das gibt den einen Kreis mit Radius r=1 und Mittelpunkt (0|0).

Nun kennst du den Rand, bis zu dem du die Differenz der beiden Funktionen integrieren musst.

Answer 1

zur Berechnung des Volumens wähle Polarkoordinaten.

x^2+y^2=r^2

dV=r*dr*dφ*dz

V=∫∫∫dV=∫∫∫r*dr*dφdz

Jetzt bestimmt man die Integrationsgrenzen.

Man integriert φ von 0 bis 2π.

Lu hat oben ja schon erklärt, dass man r von 0 bis 1 integriert.

Fehlen bloß noch die z-Grenzen. Die untere Grenze lautet e^{-1}. Die obere ist dann e^{-x^2-y^2}=e^{-r^2}

---> V=∫₀^2πdφ(∫₀¹r*dr(∫_e^{-1}^{e^{-r^2}}dz))=2*π*(∫₀¹r*dr(∫_e^{-1}^{e^{-r^2}}dz))=2*π∫₀¹(e^{-r^2}-e^{-1})*r*dr

=2*π*(1/2-e^{-1})≈0.8301