Aloha :)
Das Integrationsgebiet ist ein Dreieck, es sieht so aus:
~plot~ x*(x>=0)*(x<=3) ; (6-x)*(x>=3)*(x<=6) ; [[-1|7|-1|4]] ~plot~
Wir stellen fest, dass wir zunächst \(y\in[0;3]\) frei wählen können. Haben wir ein \(y\) gewählt und halten es dann fest, sind die zugehörigen \(x\) Werte nach links durch die Funktion \(y_\ell=x\) und nach rechts durch die Funktion \(y_r=6-x\) beschränkt: \(x\in[y;6-y]\).
Das gesuchte Volumen wird also durch folgendes Integral beschrieben:$$V=\int\limits_{y=0}^3\,\int\limits_{x=y}^{6-y}xy\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^3\left[\frac{x^2}{2}\,y\right]_{x=y}^{6-y}dy=\int\limits_{y=0}^3\left(\frac{(6-y)^2}{2}\,y-\frac{y^3}{2}\right)dy$$$$\phantom V=\int\limits_{y=0}^3\left(\frac{36y-12y^2+y^3}{2}-\frac{y^3}{2}\right)dy=\int\limits_{y=0}^3\left(18y-6y^2\right)dy$$$$\phantom V=\left[9y^2-2y^3\right]_{y=0}^3=81-54=27$$
