Aloha :)
Wir wissen, dass \(a\) und \(b\) symmetrisch um den Erwarungswert \(\mu\) liegen sollen, das heißt:$$a=\mu-s\quad;\quad b=\mu+s$$Damit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit umschreiben:$$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=P(X\le \mu+s)-P(X\le \mu-s)$$Nun normalisieren wir die Wahrscheinlichkeiten auf die Standard-Normalverteilung \(\theta=N(0;1)\):$$P(a\le X\le b)=\theta\left(\frac{\overbrace{(\mu+s)}^{=b}-\mu}{\sigma}\right)-\theta\left(\frac{\overbrace{(\mu-s)}^{=a}-\mu}{\sigma}\right)=\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-\theta\left(-\frac{s}{\sigma}\right)$$Wegen der Symmetrie der Normalverteilung ist \(\theta(z)+\theta(-z)=1\) bzw. \(\theta(-z)=1-\theta(z)\)$$P(a\le X\le b)=\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-\left(1-\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)\right)=2\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-1$$Die Wahrscheinlichkeit \(P(a\le X\le b\) soll gleich \(0,99\) sein:$$0,99=2\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-1\quad\Leftrightarrow\quad \theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)=\frac{1,99}{2}=0,995$$Wir ermitteln (Tabelle oder Rechner): \(\theta(2,57582930)=0,995\). Das heißt:$$\frac{s}{\sigma}=2,57582930\quad\Leftrightarrow\quad s=2,57582930\,\sigma$$Damit haben wir die Werte \(a\) und \(b\) gefunden:
$$P(\underbrace{\mu-2,57582930\,\sigma}_{=a} \le X\le \underbrace{\mu+2,57582930\,\sigma}_{=b})=0,99$$
