Symmetrisches Intervall - Stochastik

Question

Familie Adam macht im Juni Urlaub am Meer und hat erfahren, dass die Wassertemperatur an Junitagen in ihrem Urlaubsort annähernd normalverteilt ist mit μ= 18 grad C, sigma= 1,5 grad C.

a) mit welcher wahrscheinlichkeit wird die Wassertemperatur am Tag ihrer Ankunft min. 21 Grad C betragen? - 2,3%

b) sie beschließen wieder nach hause zu fahren falls die wassertemperatur am tag ihrer ankunft unter 16 grad C liegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dies eintreten? - 9,1%

c) HAUPTSÄCHLICHE FRAGE: Gib ein symmetrisches Intervall um μ an, in dem die Wassertemperatur am Tag der Ankunft mit der Wahrscheinlichkeit von 0,9 liegt!

ich weiß überhaupt nicht wie man so einen Intervall ausrechnet und das Internet hilft mir nicht sonderlich... Bitte um einen lösungsvorschlag. Das ergebnis soll [15,5; 20,5] sein.

danke !!

Answer 1

Bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung mit  Φ(X).
Es ist  P(X < T) = Φ((T - μ) / σ).

a)  P(X > 21) = 1 - P(X < 21) = 1 - Φ((21 - 18) / 1.5) = 1 - Φ(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

b)  P(X < 16) = Φ((16 - 18) / 1.5) = Φ(-4/3) = 1 - Φ(4/3) = 1 - 0.9088 = 0.0912

c)  0.9 = P(|X - 18| < x) = 2·Φ(x/1.5) - 1 ⇒ 0.95 = Φ(x/1.5) ⇒ x/1.5 ≈ 1.65 ⇒ x ≈ 2.5.
Es ist also  P(15.5 < X < 20.5) = 0.9

Comments

2·Φ(x/1.5) - 1  - was genau ist hier x? Also wie kommt man auf das ergebnis? Das kann ich leider nicht verstehen :/


edit: also wir berechnen hier x, das ist mir klar, aber wie lautet die genaue formel ?

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x > 0  steht für die Abweichung vom Mittelwert  μ.
Das gesuchte Intervall hat die Darstellung  [μ - x,μ + x].

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Das hat mich zwar ein wenig erleuchtet, jedoch verstehe ich nichr wie du auf 0.95 oder 1,65 kommst wenn x unbekannt ist. Hab sowas noch nie gehabt und hol meine Abi nach ohne unterrichtet zu werden, tut mir leid wenn ich ein schwieriger Fall bin :/