zu a) Auch ich habe hier 81,92 % berechnet.
zu b) Das kann irgendwie nicht stimmen. Wenn sie 80 % ihrer Würfe trifft, dann kann sie nicht 21 mal werfen müssen um fast sicher einen Treffer zu erzielen. Die Zahl ist vom Gefühle her zu hoch (ja, ich weiß, gerade bei Wahrscheinlichkeitsrechnung kann das Gefühl täuschen, dennoch...)
Hier mein Ergebnis:
Es soll gelten:
P ("mindestens einen Treffer bei n Würfen") = 1 - P ("genau keinen Treffer bei n Würfen") = 0,99
<=> 0,99 = 1 - ( n über 0 ) * 0,8 ^ 0 * 0,2 ^ n
<=> 0,01 = 0,2 ^ n
<=> n = log ( 0,01 ) / log ( 0,2 ) = 2,9 (gerundet)
Sie muss also nur 3 mal werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,9 % einen Treffer zu erzielen.
zu c) Hier stimmt mein Ergebnis mit deinem überein.
zu d) Sei t der Abstand zwischen dem Mittelwert μ und den gesuchten Intervallgrenzen. Dann soll gelten:
P ( μ - t ≤ X ≤ μ + t ) = 0,9
<=> P ( X ≤ μ + t ) - P ( μ - t ) ≤ X ) = 0,9
[Transformation zur Standardnormalverteilung:]
<=> P ( Z ≤ ( μ + t - μ ) / σ ) - P ( ( μ - t - μ ) / σ ≤ Z ) = 0,9
<=> P ( Z ≤ t / σ ) - P ( - t / σ ≤ Z ) = 0,9
<=> Φ ( t / σ ) - Φ ( - t / σ ) = 0,9
<=> Φ ( t / σ ) - ( 1 - Φ ( t / σ ) = 0,9
<=> 2 * Φ ( t / σ ) = 1,9
<=> Φ ( t / σ ) = 0,95
Nun findet man mit Hilfe einer Tabelle der Standardnormalverteilung (oder mit einem geeigneten Rechner) heraus, für welchen Wert von t / σ diese Beziehung gilt und findet:
Φ ( t / σ = 1,645 ) = 0,95
also:
t / σ = 1,645
<=> t = 1,645 * σ
Mit σ = 10 gilt daher:
t = 16,45
Somit lautet das gesuchte symmetrische Intervall Ι um den Mittelwert μ = 60:
I = [ 60 - t ; 60 + t ] = [ 43,55 ; 76,45 ]
Also: Die Wahrscheinlichkeit dafür, 44 bis 76 Treffer zu erzielen, beträgt etwa 90 %.
