Inverse einer symmetrischen Matrix ist wieder symmetrisch

Question

die Inverse einer symmetrischen Matrix ist wieder symmetrisch. Dies ist mir jedoch nicht klar.

Konkret sollte genügen:

A = \( A^{T} \)

und

\( (A^{T})^{-1} \) = \( (A^{-1})^{T} \)

Wie sich hier jedoch darauf schließen lässt, dass \( A^{-1} \) symmetrisch ist, verstehe ich leider nicht.

Wie beweist man dies?

Answer 1

A = A^T

wir bilden auf beiden Seiten die Inverse

A^{-1} = (A^T)^{-1}
A^{-1} = (A^{-1})^T

Also ist auch die Inverse symmetrisch.

Comments

Vielen lieben Dank

Answer 2

Du hast schon alles da stehen, fang also an mit \((A^{-1})^T=...\) und benutze die beiden Gleichungen, um bei \(A^{-1}\) zu landen, fertig.

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Danke dir, nudger