Determinante von einer symmetrischen 5x5-Matrix bestimmen?

Question

Aufgabe:

Determinante von 5x5-Matrix bestimmen:

\( A=\left(\begin{array}{lllll}2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Gibt es einen Trick, mit dem ich die Determinante dieser symmetrischen Matrix einfacher bestimmen kann als mit Gauß oder ist das lediglich eine nervige Aufgabe?

Comments

$$ \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 - 4\cdot (-1)\end{pmatrix}   $$

Man muss die Zeilenumformungen nur geschickt wählen.

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Eine Alternative ohne Gauß-Umformungen: Alle Zeilensummen sind gleich, d.h. 6 ist ein Eigenwert. Außerdem ist Rang(A - E₅) = 1, d.h. 1 ist ein vierfacher Eigenwert. Damit ist det(A) = 6·1⁴ = 6.

Answer 1

Addiere zur ersten Zeile alle übrigen Zeilen.

Tue gleiches mit der zweiten Zeile.