War das nur ein Spezialfall einer symmetrischen Matrix?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine kleine Frage zur positiven Definitheit von symmetrischen Matrizen.

Und zwar habe ich gelernt, dass eine symmetrische Matrix genau dann positiv definit ist, wenn ihre Eigenwerte positiv sind.

In einer Übungsaufgabe wurde aber nun eine 2x2-Matrix auf Definitheit geprüft und man hat dort schlicht nur gezeigt, dass die Determinante der Matrix größer als 0 ist und dann sofort auf positive EIgenwerte geschlossen...

War das nur ein Spezialfall? Ist es nicht normalerweise so, dass man aus der Determinante ungleich 0 nur ablesen kann, dass es zwei verschiedene Eigenwerte gibt

Problem/Ansatz:

Matrix lautet: [802 -400; -400 200]   (Matlab-Syntax)

Answer 1

In einer Übungsaufgabe wurde aber nun eine 2x2-Matrix auf Definitheit geprüft und man hat dort schlicht nur gezeigt, dass die Determinante der Matrix größer als 0 ist und dann sofort auf positive EIgenwerte geschlossen...

Es wurde da das sogenannte Hauptminorenkriterium angewandt. Dabei schaut man sich all diejenigen Unterdeterminanten, in dem man oben den ersten Eintrag nimmt und die ersten \(i\) Zeilen und Spalten betrachtet und davon die Determinante für alle \(i=1,...,n\) berechnet. Sind diese alle positiv, so gilt für eine symmetrische Matrix allegemein, dass diese positive Eigenwerte hat, also positiv definit ist. Bei einer 2x2 Matrix wie deine, also \(\begin{pmatrix}802&-400\\-400&200 \end{pmatrix}\) hast du die Unterdeterminanten \(802\) und \(802\cdot 200-400^2>0\), also positiv definit.

Comments

ok, vielen Dank.