Da nur 1en auf der Hauptdiagonalen stehen, [...]
Es wird nirgends gefordert, dass nur 1en auf der Hauptdiagonalen stehen.
Beispielsweise erfüllt
\(A = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
die Bedingung, hat jedoch keine \(1\) auf der Hauptdiagonalen.
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Dann müsste ich nur noch beweisen, dass die Determinante einer symmetrischen Matrix \(\prod_{i=1}^{n}a_{i, i}\) ist.
Das ist falsch. Betrachte beispielsweise die symmetrische Matrix $$A = \begin{pmatrix}a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\text{.}$$ Dann ist $$\det(A) = 0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1$$ und aber $$\prod_{i=1}^{2} a_{i, i} = a_{1, 1} \cdot a_{2, 2} = 0\cdot 0 = 0\text{.}$$
Außerdem weiß ich nicht wie du bei der Aufgabenstelllung auf symmetrische Matrizen kommst. Auch in der Überschrift der Frage schreibst du etwas von symmetrischen Matrizen. In der Aufgabenstellung lese ich jedoch nichts von symmetrischen Matrizen.
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Ansatz für die Aufgabe:
Die Bedingung $$\sum_{j=1}^{n} a_{i, j} a_{k, j} = \begin{cases}0 &\text{für } i\ne k \\ 1 &\text{für } i = k\end{cases}$$ bedeutet, dass die Zeilen der Matrix eine Orthonormalbasis des \(\mathbb{R}^n\) bilden.
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Das bedeutet, dass \(A\) eine orthogonale Matrix sein soll. D.h. \(A\) ist invertierbar mit \(A^{-1} = A^T\), also mit \(A \cdot A^T = E_n\), wobei \(E_n\) die Einheitsmatrix bezeichne.
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Damit ist dann $$1 = \det(E_n)=\det(A\cdot A^T) = \det(A) \cdot \det(A^T) = \det(A)\cdot \det(A) = (\det(A))^2$$ und es folgt $$\det(A) = 1\text{ oder }\det(A) = -1\text{.}$$
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