Grenzwert im 2-Dimensionalen: lim (x,y)->(0,0) (x^2 y)/(x^2+y^2)

Question

Hi,

wie kann man den Grenzwert hier finden?

lim (x,y)->(0,0) (x^2 y)/(x^2+y^2)

In meinem Skript steht dazu nur dass der Grenzwert aus allen möglichen Richtungen existieren und gleich sein muss. Das ist jedoch nicht wirklich praktikabel.

Answer 1

Es muessen nicht nur alle Richtungen, sondern ueberhaupt alle moeglichen Realisierungen des Grenzuebergangs betrachtet werden, z.B. darf man sich auch in Form einer logarithmischen Spirale dem Nullpunkt annaehern.

Im Beispiel kann man entweder mit Polarkoordinaten arbeiten, $$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le r,$$ oder durch Abschaetzen x loswerden, $$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|.$$ Dann hat man nur noch einen eindimensionalen Grenzwert zu betrachten, und die Sache ist einfach.

Comments

Wie geht es dann weiter? Sandwich-Theorem?

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Guter Gedanke, denn aus \((x,y)\to(0,0)\) folgt natuerlich sowohl \(r\to0\) als auch \(y\to0\).