Umkehrfunktion zu quadratischer Funktion gesucht

Question

Aufgabe: Umkehrfunktion gesucht zu der Funktion    f(x) =x² +8x +15

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, wie ich nach x auflösen kann, da ich einen quadratischen und einen linearen Term habe. Die Umstellung f(x) = (x+3) (x+5) hilft mir auch nicht weiter.

Ich habe nochmal nachgedacht (hilft meistens) und bin auf folgendes gekommen:

y = x² + 8x +16 +15 -16

y = (x+4)² -1

y+1 = (x+4)²                            

Dann ergibt sich die Umkehrfunktion: y = Wurzel(x+1) - 4

Comments

Versuche mal, den Funktionsterm von der Normal- in die Scheitelpunkform zu bringen.

Answer 1

Aloha :)

Vielleicht hilft dir die folgende Umformung weiter?

$$y=f(x)=x^2+8x+15$$$$=x^2+8x+\underbrace{16-16}_{=0}+15$$$$=(x^2+8x+16)-16+15$$$$=(x+4)^2-1$$

Answer 2

y+1 = (x+4)^{2}                           

Dann ergibt sich die Umkehrfunktion: y = Wurzel(x+1) - 4

y+1 = (x+4)^{2}                           

Dann ergibt sich die Umkehrfunktion: y = f^(-1) (x) = Wurzel(x+1) - 4 , wobei x ≥ -1

Ausserdem musst du noch den Definitionsbereich von f geeignet einschränken!

Comments

Schreibe bitte jeweils auch Kommentare auf vorhandene Antworten. Wenn du einfach die Fragestellung änderst, sieht man das im Liveticker nicht unbedingt.

---

Deine Umkehrfunktion ist nicht korrekt. Wenn du nach x aufgelöst hast, musst du ja noch x und y vertauschen! Somit stimmt meine Lösung schon. Sie ist übrigens identisch mit der vom Kollegen georgborn. Das mit dem eingeschränkten Definitionsbereich ist klar (Radikand darf nicht negativ werden.

---

Danke. Da hatte ich einen Dreher drinn, der nun korrigiert sein sollte.

Das mit dem eingeschränkten Definitionsbereich ist klar (Radikand darf nicht negativ werden).

Nicht nur. Du musst zwingend bei f(x) schon den Definitionsbereich einschränken, sonst existiert gar keine Umkehrfunktion von f. georgborn hat bei f^(-1) keine Funktionsgleichung angegeben. Ich habe nun ja die gleiche Funktionsgleichung wie du.

Skizze: ~plot~ x^2 +8x +15; x = -4;x; sqrt(x+1) - 4 ~plot~

Bei meinem und deinem f^(-1) wurde nur der rechte Ast des Graphen von f an y=x gespiegelt.

Erlaubt wäre auch D_f = { x reell und x ≤ -4} und dann bei f^(-1) ein Minus vor der Wurzel.

~plot~ x^2 +8x +15; x = -4;x; -sqrt(x+1) - 4;[[-6|6|-6|2]] ~plot~

Answer 3

y =x^2 +8*x +15
1.Schritt : x und y tauschen

x = y^2 +8*y +15
quadratische Ergänzung
x = y^2 +8*y +16 - 16 + 15
x = ( y + 4 )^2 -1
( y + 4 )^2 -1 = x
( y + 4 )^2 = x + 1
y + 4 = ± √( x + 1 )

y =  ± √( x + 1 ) - 4

Comments

Hallo Robinson,
streng genommen gibt ist zu einer quadratischen
Funktion gar keine Umkehrfunktion
y = x^2
tauschen
x = y^2
y = ±√x

Funktion (lateinisch functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zuordnet.

Im Beispiel werden der unabhängigen Variablen
zwei  Funktionswerte zugeordnet. Damit ist es keine
Funktion mehr.

Die Aufgabe wurde also bereits falsch gestellt.

---

Wie kann es Funktionswerte geben, wenn keine Funktion vorliegt?