Wie groß ist maximal die Fläche eines Rechtecks mit einem Umfang von 80cm?

Question

Extremalprobleme

Aufgabe:

1) Wie groß ist maximal die Fläche eines Rechtecks mit einem Umfang von 80cm? Wie lang sind dann die Seiten?

2) An einer Hauswand soll mit einem 20m langem Zaun ein möglichst großer, rechteckiger Garten abgesteckt werden. Wie groß ist die Fläche des Gartens?

Ich bräuchte Hilfe bei dem lösen der beiden Aufgaben. Sehr gerne mit genauem Lösungsweg:)

Answer 1

1) 2(x+y) = 80

x+y= 40

y= 40-x

A= x*y

A(x)= x(40-x) = 40x-x^2

A'(x)=0

40-2x=0

x= 20

y= 20 → Es ist das Quadrat.

2)2x+y= 20

y= 20-2x

A(x)= x*(20-2x) = 20x-2x^2

A'(x)=0

20-4x= 0

x=5

y=10

Answer 2

für a)
Umfang eines Rechtecks: 2a+2b
Flächeninhalt eines Rechtecks: a*b

Nun musst du die Gleichung mit dem Umfang nach einer der beiden Variablen umformen:
2a+2b= 80 -> 2b= 80 - 2a -> b = 40 -a

Und dies dann in der Flächeninhaltsfunktion einsetzen:
A(a) = a* b = a*(40-a) = 40a-a^2

Davon ist nun der Hochpunkt gesucht, also Ableitung bilden und Nullstellen berechnen:
A'(a) = 40-2a
40-2a = 0 -> 40 = 2a -> 20 = a

Dann ist b = 40-a = 40-20 = 20 

Also ist der Flächeninhalt 20*20 = 400

(Einheiten zur besseren Übersichtlichkeit weggelassen)

b) funktioniert ähnlich, aber probiere es doch erstmal selbst.