Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

Question

Hey ihr Lieben, ich bräuchte bei dieser Matheaufgabe Hilfe, denn ich komme nicht weiter :-(.

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

A (r,h) =   2*r*h + \( \frac{r^2*π}{2} \) soll maximal werden

U (r,h)     =   2*r + 2*h +  r*π

2*r + 2*h +  r*π=  20        h =  \( \frac{20  - 2*r - r*π}{2} \)

A (r) =  2*r* \( \frac{20  - 2*r - r*π}{2} \) + \( \frac{r^2*π}{2} \)

A (r)  =  20r - 2*r^2  - r^2*π + \( \frac{r^2*π}{2} \)

A (r) =  20r - 2*r^2  - \( \frac{r^2*π}{2} \)

A´ (r)=...             A´ (r) =0              r= ...                   h = ...               A (r,h)   =...

mfG

Moliets

Answer 2

Wenn der Tunnel x m breit und in der Mitte y+x/2 m hoch ist,

dann ist u = 2y+x+ 2*(x/2) * pi =  2y+x+ x* pi= 2y + (1+pi)*x

Und die Fläche A=x*y + (x/2)^2 * pi /2 =x*y + (x^2/4) * pi /2

                              =x*y + (x^2/8) * pi

Umfang 20 ergibt 2y + (1+pi)*x = 20 ==>  y = 10 - (1+pi)/2 * x

einsetzen bei A=... gibt A(x)= x*( 10 - (1+pi)/2 * x) + (x^2/8) * pi

Jetzt hast du eine Funktion von x, von der kannst du das

Maximum bestimmen mit A ' (x) =0  etc.