Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20 m betragen soll?

Question

Aufgabe

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20 m betragen soll?

Problem/Ansatz

Extremalproblem

Answer 1

x= Länge, y= Breite des Rechtecks

x/2 = Radius des Halbkreises

U= x+2y + 0,5*2*(x/2)*pi = 20

U= x+(x*pi)/2+2y= 20

y= (20- x- x/2*pi)/2  = 10-0,5x-0,25x*pi = 10-(0,5+0,25*pi)*x

A= x*y+ 0,5*(x/2)2*pi

A(y) = ...

Berechne dann: A'(y) = 0

Answer 2

Ich mache das mal ohne die Benutzung von U = 20. Du könntest aber überall theoretisch für U einfach 20 einsetzen.

Eine Skizze füge ich nicht an. Stell dir ein Rechteck mit der Grundseite 2r und der Höhe h vor, auf dem ein Halbkreis aufgesetzt wird.

U = 2·r + 2·h + pi·r --> h = (U - r·(pi + 2))/2

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2
A = 2·r·(U - r·(pi + 2))/2 + 1/2·pi·r^2 = r·U - r^2·(pi + 4)/2
A' = U - r·(pi + 4) = 0 --> r = U/(pi + 4)

h = (U - U/(pi + 4)·(pi + 2))/2 = U/(pi + 4)

Damit ist der Radius genauso groß zu wählen wie die Höhe des Rechtecks.