Wie sind die Breite B und Höhe H des Rechtecks zu wählen, damit die gesamte Querschnittsfläche maximal wird?

Question

Aufgabe: Querschnitt eines Entwässerungskanal ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Gegeben ist der Umfang U=11,6m. Wie sind die Breite B und Höhe H des Rechtecks zu wählen, damit die gesamte Querschnittsfläche maximal wird?

Ansatz: (Stimmt dies soweit?)

Ich habe folgende Funktionen aufgestellt:

$$A_{Gesamtfläche}={\pi}*(\frac{B}{2})+H*B $$

Für den Umfang des Gesamtkörpers erhält man:

$$U_{Gesamt}={\pi}*(\frac{B}{2})+2*B+H$$

Nun die Formel für den Umfang nach H umstellen erhält man:

$$ H=5,8-\frac{\pi*B}{8}-\frac{B}{2} $$

Dies nun für H in die Flächenfunktion einsetzen:

$$ A_{Gesamtfläche}={\pi}*(\frac{B}{2})+B*(5,8-\frac{\pi*B}{8}-\frac{B}{2}) $$

$$ A_{Gesamtfläche}=-B^2+11,6*B $$

Nun Ableiten und =0 setzen um die Extremstelle zu erhalten und anschließend mit der 2.Ableitung prüfen ob es ein Maximum oder Minimum ist:

$$A_{1,Gesamtfläche}=-2*B+11,6$$

$$B=\sqrt{5,8}=2,408m $$ Negativer Wert kann vernachlässigt werden.

2. Ableitung: $$ A_{2,Gesamtfläche}=-2<0 $$ also Maximum

Answer 1

Hier nur allgemein

NB

U = 2·r + 2·a + pi·r --> a = (U - r·(pi + 2))/2

HB

A = 2·r·a + 1/2·pi·r^2
A = 2·r·(U - r·(pi + 2))/2 + 1/2·pi·r^2
A = r·U - r^2·(pi + 4)/2
A' = U - r·(pi + 4) = 0 --> r = U/(pi + 4) ist Nullstelle mit VZW von + nach - und damit Hochpunkt

a = (U - r·(pi + 2))/2
a = (U - U/(pi + 4)·(pi + 2))/2
a = U/(pi + 4)

Setzt jetzt noch Dein U ein und damit gilt

r = a = 11.6/(pi + 4) = 1.624 m

Also

B = 2a = 3.249 m
H = a = 1.624 m

Comments

Also ist meine Berechnung falsch. Ich würde gerne verstehen wo ich meine Fehler gemacht habe. Sehe leider nicht den Fehler in meiner Rechnung?

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\( A_{\text {Gesamtfläche }}=\pi *\left(\frac{B}{2}\right)+H * B \)

Die Fläche des Halbkreises ist \(\frac{\pi\cdot (\frac{B}{2})^2}{2}\)

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Und die Formel für den Umfang hast du auch nicht korrekt aufgestellt.

Man könnte vermuten du hast dir evtl. nicht mal eine Beschriftete Skizze gemacht.