Wie muss er die Länge l und die Breite b wählen, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist?

Question

Aufgabe:

Philipp möchte aus einem halbkreisförmigen Karton mit dem Radius r ein Rechteck so ausschneiden, dass eine Seite des Rechtecks auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt. Wie muss er die Länge l und die Breite b wählen, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist?

Problem/Ansatz:

Bin krass verzweifelt hab auch keinen Ansatz so richtig

Answer 1

Die Länge der Seite, die auf dem Durchmesser liegt, beträgt \( \sqrt{2} \cdot r \)

Answer 2

\(A(u)=2u\cdot f(u)\)  soll maximal werden.

\(f(u)= \sqrt{r^2-u^2} \)

\(A(u)=2u\cdot \sqrt{r^2-u^2}=\sqrt{4u^2(r^2-u^2)}=\sqrt{4u^2\cdot r^2-4u^4}\)

\(A'(u)=\frac{8r^2u-16u^3}{2\sqrt{4u^2\cdot r^2-4u^4}}=\frac{4r^2u-8u^3}{\sqrt{4u^2\cdot r^2-4u^4}}\)

\(\frac{4r^2u-8u^3}{\sqrt{4u^2\cdot r^2-4u^4}}=0\)

\(r^2u-2u^3=0\)

\(u(r^2-2u^2)=0\)

\(u_1=0\)

\(r^2-2u^2=0\)

\(u^2=\frac{1}{2}r^2\)

 - entfällt:

\(u=\frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot r\)  

\(l=\sqrt{2} \cdot r\) 

\(f(u)=b= \sqrt{r^2-\frac{1}{2}r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot r \)

nnnnn