Linear Subspace: Vorgehensweise größer gleich

Question

Aufgabe:Ich bin mir nicht sicher wie ich weiter machen solle. kann ich einfach 5*c*x2 => -3cx1 schreiben?  und Aufgabe c) wenn es kein nullspace hat muss ich ich nicht weiter machen oder?

Text erkannt:

Problem 2 : Linear Subspaces
a) \( V_{2}:=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 5 x_{2} \geq-3 x_{1}\right\} \)
(I) Nullvektor \( x=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} 5 \cdot 0 \geq-3 \cdot 0 \\ 0 \geq 0 \\ \overrightarrow{0} \in V_{2} \end{array} \)
(II) Addition \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \)
\( \begin{array}{ll} 5 x_{2} \geq-3 x_{1} \mid:(-3) & \\ -\frac{5}{3} x_{2} \leq x_{1} & -\frac{5}{3}\left(x_{2}+y_{2}\right) \leq-\frac{5}{3}\left(x_{2}+y_{2}\right) \\ \left(\begin{array}{c} -\frac{5}{3}\left(x_{2}+y_{2}\right) \\ x_{2}+y_{2} \end{array}\right) \quad & -\frac{5}{3} x_{2} \leq x_{1} ;-\frac{5}{3} y_{2} \leq y_{1} \\ & -\frac{5}{3}\left(x_{2}+y_{2}\right) \leq x_{1}+y_{2} \end{array} \)
(II) Skalarmultiplikation \( c \).
\( c \vec{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} c \text {. } \\ c \end{array}\right. \)

Text erkannt:

c) \( V_{3}:=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 5 x_{2} \neq-3 x_{1}\right\} \)
II) \( x=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( 5 \cdot 0=-3 \cdot 0 \)
‡
\( \Rightarrow \) doesn't have a hullspace
(II) \( x+y \)
\( (I I I) c \cdot v_{3} \)

Answer 1

Immer wenn eine Eigenschaft nicht zutrifft brauchst du

nicht weiter zu überlegen, dann ist es kein Unterraum.

Bei a) betrachte z.B.  \( \left(\begin{array}{l} 2 \\ -1\end{array}\right)  \) ist in V2

weil 5*(-1) ≥ -3*2   denn -5 > -6.

Wäre es ein Unterraum, dann müsste auch \( -1 \cdot \left(\begin{array}{l} 2 \\ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} -2 \\ 1\end{array}\right)  \)

darin sein. Aber 5*1  ≥ -3*-2  ist falsch; denn 5<6.