Ergänzung: Schiefsymmetrische Matrizen haben entweder Eigenwerte gleich Null oder ihr Realteil verschwindet. (Klar? Ansonsten beweisen!)
Die Eigenwerte treten immer in komplex konjugierten Paaren auf. (Klar? Ansonsten beweisen!).
Die Determinante einer Matrix, kann als Produkt seiner Eigenwerte geschrieben werden.
Ist nun \(n\) gerade, so hat auch das Produkt eine gerade Anzahl an Faktoren aus Eigenwerten. Diese kommen in komplexkonjugierten Paaren vor. Es gilt außerdem für alle komplexen Zahlen \(z\in \mathbb{C}\) die Eigenschaft \(z\cdot \overline{z}=|z|^2\geq 0\).
Hilft dir das weiter?