Beweise, dass die Determinante einer Matrix unter bestimmten Bedingungen für Null-Einträge gleich null ist

Question

Ich versuche, Folgendes zu beweisen:

Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( A \) eine beliebige reelle \( n \times n \)-Matrix. Zeige, dass die Determinante der Matrix \( A \) gleich null ist, wenn die Einträge \( a_{ij} = 0 \) für alle \( i, j \in \mathbb{N} \) , sodass \( 1 \leq i \leq k \) und \( k \leq j \leq n \) für ein \( k \in \mathbb{N} \) mit \( 1 \leq k \leq n \).

Meine Intuition:

Gemäß der Annahme gilt stets \( a_{kk} = 0 \). Daher ist der Beitrag der ersten \( k \) Zeilen zum Rang der Matrix höchstens \( k - 1 \). Die verbleibenden Zeilen können den Rang der Matrix höchstens um \( n - k \) erhöhen. Daher ist der maximale mögliche Rang: \( n - k + (k - 1) = n - 1 \). Da der maximale Rang \( n - 1 < n \) ist, ist die Matrix nicht invertierbar, und daraus folgt, dass \( \det(A) = 0 \).

Ist mein Argument gültig?

Answer 1

Daher ist der Beitrag der ersten \( k \) Zeilen zum Rang der Matrix höchstens \( k - 1 \).

Dafür reicht \( a_{kk} = 0 \) nicht aus. Stattdessen ist hinreichend, dass die ersten \(k\) Zeilen nur in den ersten \(k-1\) Spalten Einträge haben können, die ungleich Null sind.