Kann ich den Rang einer Matrix mit der Determinante berechnen?

Question

Aufgabe:

Kann ich den Rang einer Matrix mit der Determinante berechnen? Wenn ja wie oder wo kann ich das nachlesen

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix ist genau dann \(\ne0\), wenn sie vollen Rang \(n\) hat. Wenn die Determinante \(=0\) ist, weißt du sicher, dass ihr Rang \(<n\) ist, kannst aber keine Aussage über den tatsächlichen Rang treffen.

Comments

Geht das auch wenn die Matrix einen Parameter hat?

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Klar... Die Determinante gibt immer das \(n\)-dimensionale Volumen an, das ihre Zeilen- bzw. Spaltenvetkoren aufspannen. Wenn dieses Volumen \(\ne0\) ist, sind alle Zeilen und Spalten linear unabhängig voneinander.

Ein Parameter könnte im Ergebnis der Deterimante auftauchen. Dann kannst du sogar feststellen, für welche Werte des Parameters die Determinante \(=0\) bzw \(\ne0\) ist.

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Danke!!!

Kann den Gauß nicht sicher oder mach oft Fehler deshalb versuche ich den zu umgehen

Answer 2

Man kann den Rang auch mit Determinanten berechnen, wenn

die Determinante = 0 ist. Man berechnet zu diesem Zweck die

\((n-1)\times (n-1)\)-Unterdeterminanten. Sollte eine von diesen

ungleich Null sein, so hat die Matrix den Rang \(n-1\).

Ist dies nicht der Fall, kann man die nächstkleineren Unterdeterminanten

berechnen usw. usw.

Das geht zwar alles, ist aber sicher nicht anzuraten.

Ganz alte mathematische Abhandlungen

(z.B. von Hermann Minkowski Preisschrift von 1882)

verwenden diese Idee zum Beweisen von Aussagen ...

Comments

Wie berechne ich Unterdeterminante bzw. welche Zahlen betrachtet man da?