Wie bestimme ich den Rang einer Matix ohne Gauß und ohne Determinante?

Question

Aufgabe:

z.B.:

1 2

4 5

Problem/Ansatz:

Mit Gauß und Determinante kein Problem.

Wie geht es denn ohne Gauß und Determinante?

Answer 1

Löse die Gleichung

    \(x\cdot \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}+ y\cdot \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\).

Gibt es eine eindeutige Lösung, dann ist der Rang 2.

Ist die Lösungsmenge eindimensional, dann ist der Rang 1.

Ist die Lösungsmenge zweidimensional, dann ist der Rang 0.

Comments

Wieso nehme ich die Matrix gleich der Nullvektor.

Um zur zeigen das die Liner unabhängig sind?

Denn hier würde ich x=0 und y= 0  setzen. Anders ist es nicht lösbar.

Dann hätte ich zwei lösungen, also ist der Rang 0?

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Denn hier würde ich x=0 und y= 0  setzen. Anders ist es nicht lösbar.

Dann sind die Spalten der Matrix linear unabhängig und somit hat die Matrix vollen Rang, also 2.

Dann hätte ich zwei lösungen,

Eine Lösung einer Gleichung besteht aus einer Belegung aller in der Gleichung vorkommenden Variablen mit Zahlen.

Die Belegung x=0 ist keine solche Belegung, weil der Variablen y kein Wert zugewiesen wurde. Also kann x = 0 keine Lösung der Gleichung sein.

Die Gleichung hat eine einzige Lösung, nämlich x=0, y=0.

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Wir sieht es mit der Telefonmatrix aus?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

X* (1 4 7) + Y* (2 5 8 ) + z*(3 6 9)=(0 0 0)

Fur x=z=1 und y=-2

Hat es wieder eine eindeutige lösung ist aber nicht linear unabhängig,

Hat es also den Rang 3?

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Hat es wieder eine eindeutige lösung

Die Lösung x=z=1, y=-2 ist nicht eindeutig. x = y = z = 0 ist eine weitere Lösung.

Lösungen sind alle (x,y,z) der Form (r, -2r, r). Damit ist die Lösungsmenge eindimensional. Also ist der Rang der Matrix 3-1 = 2.

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Hab noch Schwierigkeiten es zur verstehen..

“

Gibt es eine eindeutige Lösung, dann ist der Rang 2.

Ist die Lösungsmenge eindimensional, dann ist der Rang 1.

Ist die Lösungsmenge zweidimensional, dann ist der Rang 0. “

Deine “Definition” ist mir nicht ganz klar. Was mit eindimensional oder zweidimensional gemeint ist :(

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Die Lösungsmenge {r·(1, -2, 1) | r ∈ ℝ} ist die Menge aller Linearkombinationen eines Vektors, und zwar des Vektors (1, -2, 1). Deshalb ist die Lösungsmenge eindimensional.

Wäre die Lösungsmenge {r·(1, -2, 1) + s·(1, 0, -1) | r,s ∈ ℝ}, dann wäre sie die Menge aller Linearkombinationen zweier linear unabhängiger Vektoren (1, -2, 1) und (1, 0, -1). Dann wäre die Lösungsmenge zweidimensional.

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Und der Rang von der Telefonmatrix

3-2=1?

Oder rang=0?

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Zum Rang der Telefonmatrix habe ich in einem meine früheren Kommentare etwas gesagt.