Rang einer Matrix und Zusammenhang von Rang und Determinante

Question

Ich habe ein paar Fragen zum Rang einer Matrix und zum Zusammenhang von Rang und Determinante.

Kann der Rang wirklich nur dann 0 sein, wenn der Nullvektor enthalten oder kann der sonst auch 0 sein?

Wenn bei einer quadratischen Matrix die Determinante ungleich 0 ist, dann hat sie immer den vollen Rang? Oder gibt es Ausnahmen?

Also wenn ich z.B. eine 3x3-Matrix habe. Wenn

det≠0 ⇒ Rang=3

und wenn

det=0 ⇒ Rang=1 oder Rang=2

wenn der Nullvektor nicht enthalten ist?

Und noch eine Frage zur Bestimmung des Ranges: Wenn ich eine Matrix mit Parametern habe und den Rang in Abhängigkeit dieser Bestimmen soll, wie mache ich das? Der Gauß'sche Algorithmus bietet sich da ja eher nicht an.

Answer 1

Für quadratische Matrizen ist

rang A = dim A ⇔ det A ≠ 0

das heißt, wenn die Determinante 0 ist, sind die Zeilen/Spalten der Matrix nicht linear unabhängig, die Matrix hat also vollen Rang.

 

rang A = 0 ist nur für die Nullmatrix (also eine Matrix voller Nullen) eine wahre Aussage!
Alle anderen Matrizen haben mindestens einen Rang von 1. Der Nullvektor hat damit nichts zu tun.

 

Um den Rang einer Matrix mit Parametern λ₁, ..., λ_n zu bestimmen, bietet es sich an, zunächst die Determinante zu bestimmen. Dann bestimmst du die Lösungen der Gleichung

det A(λ₁, ..., λ_n) = 0

und erhältst daraus eine Menge kritischer Punkte. Für alle Tupel (λ₁, ..., λ_n), die die Gleichung nicht lösen, gilt rang A = dim A.

Für die Menge der kritischen Punkte musst du nun für jeden Punkt einzeln den Gauß-Algorithmus durchführen. Wenn sich die Matrix abzüglich der Nullzeilen auf m linear unabhängige Zeilen reduzieren lässt, dann gilt rang A = m.

(Das ganze lässt sich wahrscheinlich leichter an einem Beispiel demonstrieren. Hast du vielleicht eines?)

 

Comments

Wir hatten mal folgende Matrix:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c } { t + 7 s } & { - t + 5 s } & { 4 t - 2 s } \\ { 5 t - 6 s } & { 2 t - 4 s } & { - t + 6 s } \\ { 3 t - 3 s } & { t - s } & { 2 s } \end{array} \right) $$

Die Lösungen habe ich, aber ich weiß nicht, wie man darauf kommt.

Rang(A)=0 für s=t=0

Rang(A)=3 für ΙtI ≠ I2sI ≠ 0

Rang(A)=2 für t ≠ s = 0  und  IsI=I0,5tI ≠ 0

---

Hier berechnest du zunächst mit der Sarrus-Regel (relativ langwierig) die Determinante der Matrix:

det A = (t+7s)(2t-4s)(2s) + (-t+5s)(-t+6s)(3t-3s) + (4t-2s)(5t-6s)(t-s) - (3t-3s)(2t-4s)(4t-2s) - (t-s)(-t+6s)(t+7s) - (2s)(5t-6s)(-t+5s)

= 8st² - 32s³

Wie gesagt, da muss man viel auf Vorzeichen und genaue Rechnung achten.

det A = 8s*(t²-4s²)

Jetzt sind drei Sonderfälle zu unterscheiden:

1. s = t = 0, dann ist die Matrix die Nullmatrix und es gilt rang A = 0.

2. s und t sind nicht gleichzeitig 0, aber mindestens einer der Faktoren von det A ist 0.

3. s und t sind nicht gleichzeitig 0 und keiner der Faktoren von det A ist 0.

Der dritte ist leicht zu behandeln: damit der erste Faktor nicht verschwindet, muss s ≠ 0 gelten. Dann muss außerdem t² - 4s² ≠ 0 also |t| ≠ 2 |s| gelten. Dann ist det A ≠ 0 und somit rang A maximal also rang A = 3.

Der zweite liefert zwei Unterfälle, nämlich s = 0, t≠0:

Dann reduziert sich A mittels Gauß-Algorithmus auf

$$ \left( \begin{array} { c c c } { t } & { - t } & { 4 t } \\ { 5 t } & { 2 t } & { - t } \\ { 3 t } & { t } & { 0 } \end{array} \right) = t \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 5 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 3 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 5 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 3 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 7 } & { - 21 } \\ { 0 } & { 4 } & { - 12 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 8 } & { - 24 } \\ { 0 } & { 7 } & { - 21 } \end{array} \right) \sim $$ $$ \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

also gilt Rang A = 2.

Und wenn der zweite Faktor 0 wird aber der erste nicht, also |t| = 2|s|, s ≠ 0:

Hier müssen nochmal zwei Fälle untersucht werden, nämlich t = 2s und t = -2s.

Sei zunächst t = 2s:

$$ \left( \begin{array} { c c c } { 9 s } & { 3 s } & { 6 s } \\ { 4 s } & { 0 } & { 4 s } \\ { 3 } & { s } & { 2 s } \end{array} \right) = s \left( \begin{array} { l l l } { 9 } & { 3 } & { 6 } \\ { 4 } & { 0 } & { 4 } \\ { 3 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array} { l l l } { 9 } & { 3 } & { 6 } \\ { 4 } & { 0 } & { 4 } \\ { 3 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 0 } & { - 12 } & { 12 } \\ { 0 } & { - 8 } & { 8 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$ $$ \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Und nun t = -2s:

$$ \left( \begin{array} { c c c } { 5 s } & { 7 s } & { - 10 s } \\ { - 16 s } & { - 8 } & { 8 s } \\ { - 9 s } & { - 3 } & { 2 s } \end{array} \right) = s \left( \begin{array} { r r r } { 5 } & { 7 } & { - 10 } \\ { - 16 } & { - 8 } & { 8 } \\ { - 9 } & { - 3 } & { 2 } \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array} { c c c } { 5 } & { 7 } & { - 10 } \\ { - 16} & { - 8 } & { 8 } \\ { - 9 } & { - 3 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 11 } & { - 18 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 9 } & { - 3 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 11 } & { - 18 } \\ { 0 } & { - 21 } & { 35 } \\ { 0 } & { 96 } & { - 160 } \end{array} \right) $$ $$ \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 11 } & { - 18 } \\ { 0 } & { - 3 } & { 5 } \\ { 0 } & { 3 } & { - 5 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { - 7 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Es gilt also in beiden Fällen ebenfalls wieder rang A = 2.

Damit sind genau die drei von dir erwähnten Fälle untersucht worden.

Answer 2

Vorbemerkung: In den Spalten einer Matrix stehen Vektoren, die den Bildraum der Abbildung aufspannen. Der Rang entspricht der Dimension dieses Bildraumes.

Kann der Rang wirklich nur dann 0 sein, wenn der Nullvektor enthalten oder kann der sonst auch 0 sein?

 

Sobald eine Zahl ≠ 0 in der Matrix steht, ist der Bildraum nicht mehr 0-dimensional. Deshalb ist der Rang nur 0, wenn die Matrix lauter Nullen enthält.

Wenn bei einer quadratischen Matrix die Determinante ungleich 0 ist, dann hat sie immer den vollen Rang? Oder gibt es Ausnahmen?

Keine Ausnahmen möglich

Also wenn ich z.B. eine 3x3-Matrix habe. Wenn

det≠0 ⇒ Rang=3

und wenn

det=0 ⇒ Rang=1 oder Rang=2       ok

wenn der Nullvektor nicht enthalten ist? nicht genau

RICHTIG: wenn es sich nicht um die Nullmatrix handelt

 

Und noch eine Frage zur Bestimmung des Ranges. Wenn ich eine Matrix mit Parametern habe und den Rang in Abhängigkeit dieser Bestimmen soll, wie mache ich das? Der Gauß'sche Algorithmus bietet sich da ja eher nicht an

Auf Dreiecksform kannst du sie trotzdem bringen. Alternativ: Determinante nach Sarrusregel (wie Spatprodukt) formal berechnen. Kann auf eine quadratische Gleichung für den Parameter hinauslaufen.

vgl. auch ähnliche Fragen unten.

Bsp: https://www.mathelounge.de/13316/rang-einer-matrix-in-abhangigkeit-der-parameter-bestimmen

Comments

Danke, ich sehe gerade, dass bei der anderen Fragen die selbe Matrix ist, war bestimmt ein Kommilitione.

Was ist denn das Spatprodukt?

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Das Spatprodukt ist ein Produkt von 3 Vektoren

Dabei werden zwei Vektoren mit dem Kreuzprodukt multipliziert Und dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis und dem dritten Vektor gebildet.

Rechnerisch ist es das gleiche als wenn man die Determinante dieser 3 Vektoren nimmt.

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Das ist ein Begriff aus der Vektorgeometrie. Damit wird das Volumen (inkl. ein Vorzeichen) eines von 3 Vektoren aufgespannten Spats berechnet. Genauere Erklärungen zB hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt