Hier berechnest du zunächst mit der Sarrus-Regel (relativ langwierig) die Determinante der Matrix:
det A = (t+7s)(2t-4s)(2s) + (-t+5s)(-t+6s)(3t-3s) + (4t-2s)(5t-6s)(t-s) - (3t-3s)(2t-4s)(4t-2s) - (t-s)(-t+6s)(t+7s) - (2s)(5t-6s)(-t+5s)
= 8st² - 32s³
Wie gesagt, da muss man viel auf Vorzeichen und genaue Rechnung achten.
det A = 8s*(t²-4s²)
Jetzt sind drei Sonderfälle zu unterscheiden:
1. s = t = 0, dann ist die Matrix die Nullmatrix und es gilt rang A = 0.
2. s und t sind nicht gleichzeitig 0, aber mindestens einer der Faktoren von det A ist 0.
3. s und t sind nicht gleichzeitig 0 und keiner der Faktoren von det A ist 0.
Der dritte ist leicht zu behandeln: damit der erste Faktor nicht verschwindet, muss s ≠ 0 gelten. Dann muss außerdem t² - 4s² ≠ 0 also |t| ≠ 2 |s| gelten. Dann ist det A ≠ 0 und somit rang A maximal also rang A = 3.
Der zweite liefert zwei Unterfälle, nämlich s = 0, t≠0:
Dann reduziert sich A mittels Gauß-Algorithmus auf
$$ \left( \begin{array} { c c c } { t } & { - t } & { 4 t } \\ { 5 t } & { 2 t } & { - t } \\ { 3 t } & { t } & { 0 } \end{array} \right) = t \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 5 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 3 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 5 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 3 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 7 } & { - 21 } \\ { 0 } & { 4 } & { - 12 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 8 } & { - 24 } \\ { 0 } & { 7 } & { - 21 } \end{array} \right) \sim $$ $$ \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$
also gilt Rang A = 2.
Und wenn der zweite Faktor 0 wird aber der erste nicht, also |t| = 2|s|, s ≠ 0:
Hier müssen nochmal zwei Fälle untersucht werden, nämlich t = 2s und t = -2s.
Sei zunächst t = 2s:
$$ \left( \begin{array} { c c c } { 9 s } & { 3 s } & { 6 s } \\ { 4 s } & { 0 } & { 4 s } \\ { 3 } & { s } & { 2 s } \end{array} \right) = s \left( \begin{array} { l l l } { 9 } & { 3 } & { 6 } \\ { 4 } & { 0 } & { 4 } \\ { 3 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array} { l l l } { 9 } & { 3 } & { 6 } \\ { 4 } & { 0 } & { 4 } \\ { 3 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 0 } & { - 12 } & { 12 } \\ { 0 } & { - 8 } & { 8 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$ $$ \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$
Und nun t = -2s:
$$ \left( \begin{array} { c c c } { 5 s } & { 7 s } & { - 10 s } \\ { - 16 s } & { - 8 } & { 8 s } \\ { - 9 s } & { - 3 } & { 2 s } \end{array} \right) = s \left( \begin{array} { r r r } { 5 } & { 7 } & { - 10 } \\ { - 16 } & { - 8 } & { 8 } \\ { - 9 } & { - 3 } & { 2 } \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array} { c c c } { 5 } & { 7 } & { - 10 } \\ { - 16} & { - 8 } & { 8 } \\ { - 9 } & { - 3 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 11 } & { - 18 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 9 } & { - 3 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 11 } & { - 18 } \\ { 0 } & { - 21 } & { 35 } \\ { 0 } & { 96 } & { - 160 } \end{array} \right) $$ $$ \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 11 } & { - 18 } \\ { 0 } & { - 3 } & { 5 } \\ { 0 } & { 3 } & { - 5 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { - 7 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$
Es gilt also in beiden Fällen ebenfalls wieder rang A = 2.
Damit sind genau die drei von dir erwähnten Fälle untersucht worden.
