Warum hat f(z)=z*sin(1/z) eine wesentliche Singularität in z=0, obwohl das Residuum 0 beträgt?

Question

Für wesentliche Singularitäten sind alle a_k der Laurentreihe ungleich null (für negative k).

Zudem ist das Residuum als Glied a_-1 definiert und es gilt res(f,0)=0.

Warum sind diese beiden Aussagen verträglich? In meinen Augen ist dies ein Widerspruch, aber laut verlässlichen Quellen muss es sich um eine wesentliche Singularität handeln.

Behandelt wird die Funktion f(z)=z*sin(1/z) mit z Element aus C.

 

Die Zeit drängt, um schnelle Antwort wird gebeten.  

Answer 1

Deine Definition für wesentliche Singularitäten ist nicht richtig!
 

Für wesentliche Singularitäten sind nicht alle a_k ungleich 0, sondern "nur" unendlich viele.

Die formale Definition lautet:

Sei f(z) = Σ_k=-∞^∞ a_k (z-z₀)^k die Laurentreihe von z. Dann heißt z₀ wesentliche Singularität von f, wenn gilt

∀k₀<0∃k<k₀: a_k ≠ 0

 

Nun ist die Laurentreihe der Funktion leicht zu bestimmen, indem man in die Taylorreihe von sin(u) einfach u = 1/x einsetzt:

x*sin(1/x) = x*(1/x - 1/(3!*x³) + 1/(5!*x⁵) ± ... )

x*sin(1/x) = (1 - 1/(3!*x²) + 1/(5!*x⁴) ± ... )

Man sieht also, dass alle x^-k mit geradem k∈ℕ∪{0} ungleich 0 sind, während alle mit ungeradem k 0 sind. Daraus folgt insbesondere auch, dass das Residuum verschwindet, was bei näherer Betrachtung aber nur bedeutet, dass das Kurvenintegral der Funktion um den Nullpunkt verschwindet.

Comments

Achso, der Unterschied zwischen "alle" und "unendlich viele" a_k war mir nicht klar!

 

Demzufolge muss auch gelten, dass g(z)=z*cos(1/z) über eine wesentliche Singularität in z=0 verfügt, nur dass dieses Mal alle x^-k mit geradem k Null sind?

 

Kannst du eventuell ein Beispiel für eine Funktion/Reihe mit hebbarer Singularität geben, bei der man deutlich sieht, dass ALLE a_k für negative k Null sind?

 

Deine Antwort hat mir bereits sehr geholfen!

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Deine Schlussfolgerung für g(z) ist richtig.

 

Ein Beispiel für eine Funktion mit hebbarer Singularität ist

h(z) = sin(z)/z

Auf die gleiche Weise wie vorher erhält man die Laurentreihe um x=0:

h(z) = 1 - z²/3! + z⁴/5! ± ...

 

Im Grenzwert z gegen 0 ergibt sich ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0, aber an der Laurentreihe lässt sich ablesen, dass der Grenzwert 1 lautet.