Sei G eine Gruppe und x,y∈G. Zeige, dass y^26=e, wenn y^3=xyx^{-1} und x^3=e

Question

Halli

in unserer Probeklausur hatten wir die Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und x,y∈G mit x³=e und y³=xyx^-1. Beweisen Sie, dass y²⁶=e.

Ich habe die Aufgabe in der Probeklausur nicht hinbekommen und probiere die nun die ganze Zeit.

Ich habe angefangen mit

y²⁶=y³y³y³y³y³y³y³y³y³y^-1 (also y²⁷y^-1)

und dann weiter umgestellt, so dass ich zum Schluss noch

...=yx^-1x^-1x^-1y^-1

habe. Nun weiß ich leider nicht weiter. Habe ich falsch angefangen? Ich habs auch schon mit (y²⁴yy) und

(y³⁰y^-1y^-1y^-1y^-1) probiert, aber da kam ich auch nicht zum Ergebnis.

Kann mir da vielleicht einer helfen und sagen, welcher Ansatz richtig ist bzw. wie ich weiter machen muss?

 

Danke

Comments

Soll e in der Aufgabe ein Neutrales Element sein? Irgendwie geht das nicht deutlich aus der Aufgabe hervor?

Answer 1

Du hattest ja gesagt, du wärest bereits bei

... = yx^-1x^-1x^-1y^-1

angekommen, dann mache ich von da mal weiter.

Wegen

(a b) (b^-1 a^-1) = a (b b^-1) a^-1 = a e a^-1 = a a^-1 = e

gilt

(a b)^-1 = b^-1 a^-1

in jeder Gruppe!

Daraus folgt insbesondere:

x^-1x^-1x^-1 = (x x)^-1 x^-1 = (x (x x))^-1 = (x³)^-1 = e^-1 = e

Damit folgt aus deinem Ausdruck:

yx^-1x^-1x^-1y^-1 = y e y^-1 = y y^-1 = e

 

Answer 2

y^26 = e
y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^{-1} = e
x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·y^{-1} = e
x·y·y·y·y·y·y·y·y·y·x^{-1}·y^{-1} = e
x·y^3·y^3·y^3·x^{-1}·y^{-1} = e
x^2·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x^{-1}·y^{-1} = e
x^2·y·y·y·x^{-2}·y^{-1} = e
x^2·y^3·x^{-2}·y^{-1} = e
x^2·x·y·x^{-1}·x^{-2}·y^{-1} = e
x^3·y·x^{-3}·y^{-1} = e
y·x^{-3}·y^{-1} = e

Bis hierhin hattest du ja auch alles so

y·x^{-3}·y^{-1} = e
y·x^{-3} = y
x^{-3} = e
e = x^3
e = e

w.z.b.w.