Sei G eine Gruppe mit neutralem Element, sodass x²=e und xyx=y³. Beweisen Sie y^8=e.

Question

Hallöchen.

Ich hoffe mir kann jemand bei den Aufgaben helfen:

 

1.) Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e∈G und x,y ∈G Elemente, sodass x² = e und xyx = y³ . Beweisen Sie, dass y⁸ = e.

Das es so ist, weiß ich, aber wie kann man sowas beweisen?

2.) Sei G eine Gruppe, sodass es gilt: a²= b²= (ab)², für alle a,b ∈G. Dann gilt: a⁴ = b⁴ = (ab)^2.

 

Danke für die Hilfe.

Answer 1

2.) Sei G eine Gruppe, sodass es gilt: a^2= b^2= (ab)^2, für alle a,b ∈G. Dann gilt: a^4 = b^4 = (ab)^2.

Anmerkung und Bezeichnung: Die Gruppeneigenschaft "a^2= b^2= (ab)^2, für alle a,b ∈G" bedeutet, dass alle Produkte von Elementen mit sich selbst gleich sind. und erst noch gleich wie das (Produkt zweier beliebiger Elemente von G)^2 

Formalisiere folgende Überlegung, falls sie einleuchtet.

Beweis: Seien c und d zwei beliebige Elemente von G.

Zu zeigen: c^4=d^4=(ab)^2

Da G eine Gruppe ist, liegen c^2, d^2 und cd auch in G.

Zudem gilt in Gruppen das Assoziativgesetz. Deshalb c^4 = (c^2)^2 = (ein Element von G, also z.B. a)^2 = [nach Gruppeneigenschaft] = (ab)^2

Dasselbe mit d^4 ergibt auch (ab)^2

Zudem auch (cd)^2 = (ab)^2

qed.

 

Comments

 

1.) Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e∈G und x,y ∈G Elemente, sodass x² = e und xyx = y³ . Beweisen Sie, dass y⁸ = e.

Beweis:

y^8*y = y^9 = y^3 y^3 y^3 |Assoziativität, xyx = y^3

 = xyx xyx xyx            | Ass., x^2 = e

 = x y^3 x                    |y^3 = xyx

= xxyxx                       |Ass., x^2 = e

=y

Also y^9 = y

Da y^8*y =y und y*y^8 = y

ist y^8 mindestens für den Faktor y das neutrale Element. Also e.

Da es nicht für jeden Faktor ein anderes neutrales Element geben sollte, ist y^8 = e.

[Kann sein, dass die letzt Zeile 'hinkt', weiss aber derzeit nichts Schlaueres] 

 

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y⁸ = e

<=> y³ y³ y² = e    | y³ = xyx

<=> xyx xyx y² = e   | x² = xx = e

<=> xy e y x y² = e

<=> xy yx y² = e    | Ass.

<=> xyx y³ = e

<=> e * xyx = e

<=> e * e = e

 

ist das auch okay? LG

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oh... ich habe mich verguckt und angenommen, dass xyx = e

Sorry... :-)

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So, nochmal:

x² = e

xyx = y³

y^8 = e

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y^8 = y³ y³y² = xyx xyx y² = xy yx y² = x x y y y² = y y³ = y xyx = yy xx = yy = e
(Habe nur das Ass.gesetz und x²=e bzw. xyx=y³ angewendet)

=> Da x² = e und y²=e => x² = y²

Könnte man jetzt einfach annehmen, dass x=y gilt?

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Ich glaube du verwechselst das Assoziativgesetz mit dem Kommutativgesetz, jedenfalls in diesem Schritt:

<=> xy yx y² = e    | Ass.

<=> xyx y³ = e