2.) Sei G eine Gruppe, sodass es gilt: a2= b2= (ab)2, für alle a,b ∈G. Dann gilt: a4 = b4 = (ab)2.
Anmerkung und Bezeichnung: Die Gruppeneigenschaft "a2= b2= (ab)2, für alle a,b ∈G" bedeutet, dass alle Produkte von Elementen mit sich selbst gleich sind. und erst noch gleich wie das (Produkt zweier beliebiger Elemente von G)2
Formalisiere folgende Überlegung, falls sie einleuchtet.
Beweis: Seien c und d zwei beliebige Elemente von G.
Zu zeigen: c4=d4=(ab)2
Da G eine Gruppe ist, liegen c2, d2 und cd auch in G.
Zudem gilt in Gruppen das Assoziativgesetz. Deshalb c4 = (c2)2 = (ein Element von G, also z.B. a)2 = [nach Gruppeneigenschaft] = (ab)2
Dasselbe mit d4 ergibt auch (ab)2
Zudem auch (cd)2 = (ab)2
qed.