Sei (G, *) eine Gruppe mit neutralem Element e, und es ist a * a = e , Jede Gruppe mit dieser Eigenschaft abelsch ist

Question

Aufgabenstellung: $$Sei\quad (G,\quad *)\quad eine\quad Gruppe\quad mit\quad neutralem\quad Element\quad { e }_{ G }.\quad Sei\quad a\quad *\quad a\quad =\quad { e }_{ G }\quad für\quad alle\quad a\quad \in \quad G. \\ Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad jede\quad Gruppe\quad die\quad diese\quad Eigenschaft\quad hat,\quad abelsch\quad ist.$$

ich weiß leider nicht ob das (unten)so in etwa stimmt? Ich habe noch als Hinweis: a,b ∈ G und die Frage, wie das (multipl.) Inverse von ab aussieht. Und außerdem ist mir nicht klar, ob für a,b ∈ G gelten muss, dass auch b * b = e_G ist ?

$$\\ Seien\quad a,\quad b\quad \in \quad G\quad und\quad es\quad gelte\quad a\quad *\quad a\quad =\quad { e }_{ G }.\\ \\ Da\quad G\quad eine\quad Gruppe\quad ist,\quad gilt\quad das\quad Assoziativgesetz,\quad es\quad existiert\quad ein\quad neutrales\quad Element\quad { e }_{ G }\quad und\quad \quad a,b\quad mit\quad a,b\quad \in \quad G\quad sind\quad invertierbar:\\ $$

$$\\ { e }_{ G }\quad =\quad a\quad *\quad a\quad \quad \quad \\ \\ =\quad (a\quad *\quad a)({ e }_{ G })\quad \quad \quad |\quad neutrales\quad Element\quad für\quad *\\ \\ =\quad (a\quad *\quad a)(b\quad *\quad { b }^{ -1 })\quad \quad |\quad b\quad ist\quad invertierbar\quad für\quad *\\ \\ =\quad (ab)\quad *\quad (a{ b }^{ -1 })\quad \quad |\quad Assoziativgesetz\quad für\quad *\\ \\$$

$$Sei\quad nun\quad ab\quad \neq \quad ba.\\ \\ Dann\quad ist\quad { e }_{ G }\quad =\quad ab\quad *\quad a{ b }^{ -1 }\quad \neq \quad ba\quad *\quad a{ b }^{ -1 }\quad =\quad a\quad *\quad a\quad ,\quad also\quad ist\quad { e }_{ G }\quad \neq \quad a\quad *\quad a\quad ein\quad Widerspruch.\\$$

$$\\ Es\quad folgt,\quad dass\quad (G,\quad *)\quad kommutativ\quad und\quad damit\quad eine\quad abelsche\quad Gruppe\quad ist.$$

Comments

was ich noch sagen wollte bin mir nicht sicher ob ich das assoziativgesetz richtig angewendet habe...

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a,b ∈ G und die Frage, wie das (multipl.) Inverse von ab aussieht.

Die Antwort darauf hilft bei der Aufgabe enorm. Solltest Du also zuerst bearbeiten.

nicht klar, ob für a,b ∈ G gelten muss, dass auch b * b = e_G ist ?

Da steht doch klar, dass a * a = e fuer alle a ∈ G gelten soll. Ist doch wurscht, welchen Buchstaben man in der Formulierung verwendet. Die Variable a geht ueber alle Gruppenelemente. Wenn b ∈ G, dann b * b = e.

nciht sicher ob ich das assoziativgesetz richtig angewendet habe...

Wenn Du damit Dein (a * a) (b * b^-1) = (ab) * (ab^-1) meinst: Ganz sicher nicht!

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habe unten nochmal einen beitrag gelesen. habe ich das jetzt richtig verstanden?

$$Da\quad ab\quad \in \quad G,\quad folgt\quad dass\quad ab *ab\quad =\quad { e }_{ G }.\\ Aus\quad der\quad Invertierbarkeit\quad folgt,\quad dass\quad ab*{ (ab) }^{ -1 }\quad =\quad { e }_{ G }\\ \\ Es\quad gilt\quad also\quad ab={ (ab) }^{ -1 }.\\ \\ Da\quad auch\quad a ={ a }^{ -1 }\quad und\quad b={ b }^{ -1 }\quad gilt,\quad \\ \\ ist\quad \\ \\ a*b\quad =\quad { a }^{ -1 } *{ b }^{ -1 }\quad =\quad { (a*b) }^{ -1 }\quad =\quad { b }^{ -1 }*{ a }^{ -1 } \quad = \quad b*a\\ \\ \\ Denn\quad wäre\quad ab\neq ba,\quad existieren\quad 2\quad verschiedene\quad Inverse\quad von\quad (a*b):\\ \\ { (a* b) }^{ -1 }\quad =\quad { a }^{ -1 }*{ b }^{ -1 }\quad \\ { (a*b) }^{ -1 }\quad =\quad { b }^{ -1 }*{ a }^{ -1 }\quad \\ \\ Da\quad das\quad Inverse\quad eindeutig\quad bestimmt\quad ist,\quad muss\quad gelten\quad ab=ba.\\ $$

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Das kann man auch netter formulieren. Du benutzt offensichtlich \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\), was in jeder Gruppe gilt, und dann, dass in dieser speziellen Gruppe jedes Element sein eigenes Inverses ist. Die linke Seite ist also \(=ab\) und die rechte \(=ba\).

Answer 1

Der beweis stimmt so. Die schlussfolgerung ist in meinen augen  richtig