Richtig ist
$$ (1 +\frac { 1 }{ n })^{n+1} > (1 +\frac { 1 }{ n+1 })^{n+2} $$
Zeigt sich so:
Beide Seiten durch$$ (1 +\frac { 1 }{ n+1 })^{n+1}$$gibt
$$\frac { (1 +\frac { 1 }{ n })^{n+1}} {(1 +\frac { 1 }{ n+1 })^{n+1}}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$(\frac {\frac { n+1 }{ n }}{ {\frac { n+2 }{ n+1 }}})^{n+1}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$(\frac {(n+1)^2}{ n^2 +2n})^{n+1}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$( {1+\frac { 1 }{ n^2+2n }})^{(n+1)}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
Dann mit Bernoulli
$$( {1+\frac { 1 }{ n^2+2n }})^{(n+1)}>1+\frac { n+1 }{ n(n+2) }>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$\frac { n+1 }{ n(n+2) }>\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$\frac { (n+1)^2 }{ n(n+2) }> 1 $$
$$ $$
Und letztere Ungleichung ist wohl OK.
