(1+1/n)^n+1 < (1+(1/n+1))^n+2

Question

Mir fällt kein geeigneter Beweis dafür ein :/ 

Bitte um eure Hilfe!

DANKESCHÖN 

Comments

Meinst du 

 ( 1 - 1/n )ⁿ⁺¹  <  ( 1 + 1/(n + 1) )ⁿ⁺²   ?

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Ja genau! 

Ich weiß, dass man es mit der arithmetischen geometrischen ungleichung irg. wie lösen kann, jedoch nicht genau wie. Also wie dort jeder einzelne Schritt fkt. :/ 

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Oder heißt es möglicherweise$$\left(1+\frac1n\right)^{\!n+1}<\left(1+\frac1{n+1}\right)^{\!n+2}\ ?$$

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Hab mich vorher verlesen...SORRY 

Die Variant von "nn" ist die richtige!!!

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Vielleicht heißt es aber auch$$\left(1+\frac1n\right)^{\!n+1}>\left(1+\frac1{n+1}\right)^{\!n+2}\ ?$$

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Nein, deine erste Variante ist richtig und stimmt zu 100%! 

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Für \(n=1\) hieße das dann nach meinen Berechnungen \(4<3{,}375\).

Answer 1

Richtig ist 

$$ (1 +\frac { 1 }{ n })^{n+1}  > (1 +\frac { 1 }{ n+1 })^{n+2}  $$

Zeigt sich so:
Beide Seiten durch$$ (1 +\frac { 1 }{ n+1 })^{n+1}$$gibt
$$\frac {  (1 +\frac { 1 }{ n })^{n+1}} {(1 +\frac { 1 }{ n+1 })^{n+1}}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$(\frac  {\frac { n+1 }{ n }}{ {\frac { n+2 }{ n+1 }}})^{n+1}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$(\frac  {(n+1)^2}{ n^2 +2n})^{n+1}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$( {1+\frac { 1 }{ n^2+2n }})^{(n+1)}>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
Dann mit Bernoulli
$$( {1+\frac { 1 }{ n^2+2n }})^{(n+1)}>1+\frac { n+1 }{ n(n+2) }>1 +\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$\frac { n+1 }{ n(n+2) }>\frac { 1 }{ n+1 }$$
$$\frac { (n+1)^2  }{ n(n+2) }> 1 $$
$$ $$
Und letztere Ungleichung ist wohl OK.