Question

Beweisen Sie, dass für jedes n ∈ N die n-te Ableitung f(n) der Funktion f : R → R mit f(x) = x · ex−1 durch

f(n)(x) = (x + n)ex−1

gegeben ist.

Answer 1

f(x) = x·e^{x - 1}

f'(x) = e^{x - 1}·(x + 1)

f''(x) = e^{x - 1}·(x + 2)

Induktion

f^{n}(x) = e^{x - 1}·(x + n)

f^{n + 1}(x) = e^{x - 1}·(x + n) + e^{x - 1}·(1) = e^{x - 1}·(x + n + 1)

Was zu beweisen war.