Zeigen Sie: Jedes Element aus M ist in genau einer Äquivalenzklasse enthalten

Question

Aufgabe:

Sei R ⊂ M × M eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Für x ∈ M bezeichnet [x] := {y ∈ M ; y R x}
die von x erzeugte Äquivalenzklasse (bzgl. der Relation R). Zeigen Sie: Jedes Element aus M ist in genau einer Äquivalenzklasse (bzgl. R) enthalten.
Anmerkung: Das bedeutet, dass die Menge M/R := {[x] ; x ∈ M} der Äquivalenzklassen eine sogenannte Partition von M ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter

Answer 1

Jedes Element aus M ist in genau einer Äquivalenzklasse (bzgl. R) enthalten.

Sei x∈M.  Da die Relation reflexiv ist, gilt x R x, also gibt es eine Klasse ( nämlich [x] in der

das Element enthalten ist.

Angenommen es gäbe zwei verschiedene Klassen [y] und [z] in denen x enthalten ist.

Dann gilt xRy und xRz wegen der Symmetzrie von R also auch yRx und xRz.

Wegen der Transitivität von R also auch yRz und damit   [y] = [z].

Widerspruch !             q.e.d.

Comments

yRz und damit [y] = [z]

Die Aufgabe verlangt, genau dies zu beweisen und nicht nur hinzuschreiben.