Äquivalenzklasse der Relation zeigen?

Question

folgende Aufgabe ist gegeben und ich weiß leider nicht weiter.

Sei auf N × N die Äquivalenzrelation
(k, l) ∼ (m, n) :⇐⇒ k · n = l · m
gegeben (siehe Blatt 3, Aufgabe 3).

Für (m, n) ∈ N × N bezeichne von nun an [(m, n)] die Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation. Zeigen Sie, dass die durch
[(k, l)] + [(m, n)] := [(k · n + l · m, l · n)] und
[(k, l)] · [(m, n)] := [(k · m, l · n)]

definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, d.h. nicht von der Wahl der Repräsentanten
(k, l) und (m, n) abhängen.

Danke für jede Hilfe

Answer 1

Seien k, l, m, n ∈ ℕ.

Seien k', l', n', m' ∈ ℕ so dass [(k, l)] = [(k', l')] und [(m, n)] = [(m', n')] ist (d. h. z. B. (k, l) und (k', l') liegen in der selben Äquivalenzklasse, also k·l' = l·k').

Zeige dass (k' · n' + l' · m', l' · n') in der Äquivalenzklasse von (k · n + l · m, l · n) liegt.

Zeige dass (k' · m', l' · n') in der Äquivalenzklasse von (k · m, l · n) liegt.

Comments

Wäre das alles für die Aufgabe? Oder muss man noch mehr machen?

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nicht von der Wahl der Repräsentanten (k, l) und (m, n) abhängen.

Wenn unter den von mir genannten Voraussetzungen (k' · n' + l' · m', l' · n') in der Äquivalenzklasse von (k · n + l · m, l · n) liegt, dann hängt die Addition nicht von der Wahl der Repräsentanten ab. Und genau dass sollst du ja zeigen. Mehr brauchst du nicht.