Relation: Äquivalenzklasse in Z

Question

Aufgabe: Gebe auf drei verschiedene Wege die Äquivalenzklasse für Z (ganze Zahlen) von a= - 7 an. Weise nach, dass es sich um die gleiche Äquivalenzklasse und Zahl handelt.

Problem/Ansatz:
Ich hätte mit Definition der Äquivalenzrelation (m1, n1) ∼ (m2, n2) :⇔ m1 + n2 = m2 + n1 für alle m1, m2, n1, n2 ∈ N gerechnet. Das geht leider nicht, weil mir das b fehlt. Jetzt habe ich keinen Ansatz.

Answer 1

1. Äquivalenzklasse als Verschiebung:

\( [-7]=\{-7+k \mid k \in \mathbb{Z}\} \)

- Jede Zahl in dieser Menge ist äquivalent zu - 7 , da sie sich nur um eine ganze Zahl \( k \) unterscheidet.

2. Äquivalenzklasse modulo 1:

\( [-7]=\mathbb{Z} \)

- Alle ganzen Zahlen sind äquivalent zu -7 , weil \( x \equiv-7(\bmod 1) \) für alle \( x \in \mathbb{Z} \) gilt.

3. Äquivalenzklasse durch Betrag:

\( [-7]=\{-7,7\} \)

- -7 und 7 sind äquivalent, da sie denselben Betrag \( |x|=7 \) haben.